Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что

x = 2a +1, y = 2b + 1.

После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число

x² + y² = (2a + 1)² + (2b + 1)² = 2 + 4а + 4a² + 4b + 4b² = 2 + 4 (а + а² + b + b²),

делящееся

на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z² делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z² делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z² делится на 4.

Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.

§ 2. Решение задачи Пифагора

Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде

x² = z² — y² = (z + y)(z — y). (5.2.1)

Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа

х, z + y, z — y

четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить

(1/2 x)² = 1/2 (z + y) 1/2 (z — y). (5.2.2)

Обозначим

m₁ = 1/2 (z + y), n₁ = 1/2 (z — y); (5.2.3)

тогда уравнение (5.2.2) перепишется как

(1/2 x)² = m₁n₁. (5.2.4)

Числа m₁ и n₁ взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что

d = D(m₁, n₁)

есть наибольший общий делитель чисел m₁ и n₁. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа

m₁ + n₁ = z, m₁ — n₁ = y.

Но

единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому

d = D(m₁, n₁) = 1. (5.2.5)

Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m₁ и n₁ являются квадратами

m₁ = m², n₁ =, D(m, n) = 1. (5.2.6)

Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m² и n² вместо m₁ и n₁ соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);

получим

m² = 1/2 z + 1/2 y, n² = 1/2 z — 1/2 y, m²n² = 1/4 x²,

т. е.

x = 2mn, y = m² — n², z = m² + n². (5.2.7)

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х² + у² = z².

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) (m, n) = 1,

(2) m > n, (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.