Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х² + у² = z². Если число р делит х,

то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть

m = 11, n = 8.

Наши условия выполнены, и мы находим, что

х = 176, у = 57, z = 185.

В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n.

Таблица 3

Система задач 5.2.

1. Продлите таблицу для всех значений m ≤ 10.

2. Могут ли два разных набора значений чисел m и п, удовлетворяющих условию (5.2.8), дать один и тот же треугольник?

3. Найдите все пифагоровы треугольники, у которых длина гипотенузы не превосходит 100.

§ 3. Несколько задач о треугольниках Пифагора

Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.

Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у. В соответствии с (5.2.7)

y = m² — n² = (m + n)(m — п), (5.3.1)

где m и n—числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).

В уравнении (5.3.1) множители (m + n) и (m — n) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители

а = m + n, b = m — n (5.3.2)

оба

нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р, то число р должно было бы делить каждое из чисел

а + b = m + n + (m — n) = 2m

и

а — b = m + n — (m — n) = 2n,

т. е. р должно было бы делить числа m и n. Но это невозможно, так как D(m, n) = 1.

Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя

y = a b, a > b, D(a, b) = 1. (5.3.3)

Из (5.3.2) получаем

m = 1/2 (a + b), n = 1/2 (a — b). (5.3.4)

Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и b = m — n. Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m² — n².

Пример. Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:

у = 15 • 1 = 5 • 3.

Первое из них дает

m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,

а второе

m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.

Пусть, далее, задана сторона х. Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2mn должно делиться на 4. Если разложить число х/2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m, а меньший — n.

Пример. Возьмем х = 24; тогда