Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта
Шрифт:
На рис. 9.20 программа показана полностью. Здесь
означает, что в графе G существует дуга, ведущая из X в Y. Определение этого отношения зависит от способа представления графа. Если G представлен как пара множеств (вершин и ребер)
то
Классическая задача на графах — поиск Гамильтонова цикла, т.е. ациклического пути, проходящего через все вершины графа. Используя отношение
Здесь
Каждому пути можно приписать его стоимость. Стоимость пути равна сумме стоимостей входящих в него дуг. Если дугам не приписаны стоимости, то тогда, вместо стоимости, говорят о длине пути.
Для того, чтобы наши отношения
Здесь С — стоимость пути P, a C1 — стоимость пути P1. В отношении
Рис. 9.21. Поиск пути в графе:
Эту процедуру можно использовать для нахождения пути минимальной стоимости. Мы можем построить путь минимальной стоимости между вершинами
Аналогично можно среди всех путей между вершинами графа найти путь максимальной стоимости, задав цели
Заметим, что приведенный способ поиска максимальных и минимальных путей крайне неэффективен, так как он предполагает просмотр всех возможных путей и потому не подходит для больших графов из-за своей высокой временной сложности. В искусственном интеллекте задача поиска пути возникает довольно часто. В главах 11 и 12 мы изучим более сложные методы нахождения оптимальных путей.
9.5.3. Построение остовного дерева
Граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами существует путь. Пусть G = (V, E) — связный граф с множеством вершин V и множеством ребep E. Остовное дерево графа G — это связный граф T = ( V, E'), где E' — подмножество E такое, что
(1) T — связный граф,
(2) в T нет циклов.
Выполнение этих двух условий гарантирует то, что T — дерево. Для графа, изображенного в левой части рис. 9.18, существует три остовных дерева, соответствующих следующим трем спискам ребер:
Здесь каждый терм вида X-Y обозначает ребро, соединяющее вершины X и Y. В качестве корня можно взять любую из вершин, указанных в списке. Остовные деревья представляют интерес, например в задачах проектирования сетей связи, поскольку они позволяют, имея минимальное число линий, установить связь между любыми двумя узлами, соответствующими вершинам графа.
Определим процедуру
где T — остовное дерево графа G. Будем предполагать, что G — связный граф. Можно представить себе алгоритмический процесс построения остовного дерева следующим образом. Начать с пустого множества ребер и постепенно добавлять новые ребра, постоянно следя за тем, чтобы не образовывались циклы. Продолжать этот процесс до тех пор, пока не обнаружится, что нельзя присоединить ни одного ребра, поскольку любое новое ребро порождает цикл. Полученное множество ребер будет остовным деревом. Отсутствие циклов можно обеспечить, если придерживаться следующего простого правила: ребро присоединяется к дереву только в том случае, когда одна из его вершин уже содержится в строящемся дереве, а другая пока еще не включена в него. Программа, реализующая эту идею, показана на рис. 9.22. Основное отношение, используемое в этой программе, — это
Здесь все три аргумента — множества ребер.