Пуанкаре
Шрифт:
То обстоятельство, что наблюдаемые физиками факты укладываются в рамки различных геометрий, вовсе не снимает вопроса об истинной геометрической структуре пространства — времени. Разные геометрические представления одних и тех же физических явлений еще не свидетельствуют о произвольности и условности законов физики или пространственно-временных свойств реального мира, как не свидетельствует об этом выбор различных единиц измерения физических величин или применение различных систем координат. Истинная геометрия реального пространства — времени только одна, и выделена она не удобством использования, а тем, что, наиболее полно отражая с ее помощью физические явления, ученые в то же время обходятся без вынужденного усложнения физической теории. Используя другие, отличные от нее геометрии, они одновременно подправляют физические законы введением в них дополнительных сил, называемых универсальными,
Логика против интуиции
Еще в 1894 году в одной из своих статей Пуанкаре затронул вопрос, обсуждение которого вылилось в многолетнюю дискуссию между математиками различных стран и школ. С каждым годом полемика угрожающе разрасталась, как снежный ком, вовлекая все новых и новых участников. Отдельные математические вопросы возвышались в споре до уровня общенаучных методологических установок. Аргументам противника противопоставлялись порой не математические доводы, а соображения общего порядка или же простая убежденность. И даже сама манера выражаться в полемических работах далеко отошла от строго математической.
Начавшись с рассмотрения метода полной математической индукции, успешно и плодотворно применяемого в различных разделах математики, дискуссия переросла в обсуждение весьма общего и принципиального вопроса: откуда математика черпает свое основное содержание? Ряд ученых категорически утверждал, что математическое знание выводится чисто логическим путем. В конце XIX — начале XX века складывается учение логицизма, сводившее всю математику к логике. Итальянский математик Пеано в пяти томах своего "Математического формуляра" дает комментированное изложение математики на языке логических действий с помощью разработанных им специальных обозначений для понятий логики, используемых в математических рассуждениях. В этом же направлении работают немецкие ученые Фреге и Дедекинд, а также англичане Рассел и Уайтхед.
Первым с серьезной критикой взглядов логицистов выступил Пуанкаре. Помимо ряда статей, он посвятил этому вопросу главу в своей книге "Ценность науки". Пуанкаре не отрицает той роли, которую играет в математическом творчестве логический вывод. Но одной только логикой математика никак не исчерпывается. Необходим еще один род творчества, который столь безапелляционно отвергли логицисты: интуиция. Кому же еще это знать, как не ему, интуитивному математику! Логика может только разворачивать, раскрывать то знание, которое изначально заложено в исходных посылках. "Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке", — совершенно справедливо замечает Пуанкаре. Логическое доказательство подобно развитию растения из зерна: что посеешь, то и пожнешь. Только интуиция, постижение истины не путем доказательства, а непосредственным интеллектуальным усмотрением ее содержания позволяет сделать скачок к принципиально новому знанию.
В споре с Пеано, Расселом и их единомышленниками Пуанкаре использует термин «интуиция» в самых различных смыслах. Неоднократно говорит он, например, об интеллектуальной и чувственной интуиции. Первая, по его мнению, лежит в основе математического творчества. Интеллектуальная интуиция позволяет математикам "не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они подмечают сразу общий план логического здания". Это очень редкий и благодатный дар, считает Пуанкаре, лишь немногие владеют им. В то же время он далек от того, чтобы преувеличивать достоинства интуитивного метода. "Интуиция не может дать нам ни строгости, ни даже достоверности — это замечается все больше и больше". Поэтому неизбежен, по его мнению, логический элемент в математике. "Логика и интуиция имеют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства, интуиция есть орудие изобретения".
Авторитет Пуанкаре в широких научных кругах был столь велик, что его критика логицизма имела и нежелательные последствия. Непоправимый урон нанесен был учению Пеано, что привело к недооценке его идей и задержало дальнейшее распространение развиваемых им методов "математической логики". Крайне неодобрительно воспринимал Пуанкаре и теорию множеств
Высшим критерием полноценности математической теории считал он ее непротиворечивость. Но как раз на рубеже двух веков в теории множеств выявились вопиющие противоречия, к которым приводят совершенно правильные в логическом отношении рассуждения. Именно эти неразрешимые парадоксы оттолкнули Пуанкаре от теории, сторонником которой он одно время был. Еще молодым преподавателем Сорбонны участвовал он в переводе на французский язык основополагающих работ Кантора и даже применял отдельные положения его теории в своих исследованиях по фуксовым функциям. Теперь же Пуанкаре отказывал теории множеств в праве на существование, поскольку отдельные ее положения противоречили друг другу. Впрочем, он был не одинок в своем категорическом подходе к этому вопросу. Немало было в те годы предложений избавить математику от разрушительных катастроф, вызванных парадоксами теории множеств, отказавшись от самой теории.
Всю вину за сложившееся в математике недопустимое положение Пуанкаре возлагает на логицистов. Раз их метод претендует на то, чтобы с помощью языка математической логики дать безупречные правила умозаключений, то они обязаны устранить эти парадоксы, иначе их аппарат непригоден и требует коренной перестройки. Не верит он в возможности математической логики и выход видит только в устранении непредикативных определений. Так называются умозаключения, построенные по принципу порочного круга, когда рассуждения, приводящие к требуемому результату, сами опираются на то, что с их помощью нужно определить. Скрытым источником непредикативности и всех противоречий в теории множеств Пуанкаре считает основное понятие этой теории — актуальную бесконечность. Ее необходимо исключить из математического обихода. Все первое десятилетие XX века он участвует в активной полемике по парадоксам множеств, ведя спор с Расселом, Кутюра, Пеано, Цермело и другими о путях выхода из того критического положения, в котором оказалась математика.
В конце концов вся дискуссия выродилась в своеобразный "порочный круг" и потеряла, по мнению Пуанкаре, свой творческий характер. Эта полемика "затянулась не потому, что без конца приводились новые аргументы, но потому, что все время вертелись в одном и том же круге, — пишет Пуанкаре в 1909 году. — Каждый повторял то, что он уже говорил, как будто не слыша, что ему говорит противник". Не оправдалась на этот раз французская поговорка, утверждающая, что, "когда сталкиваются мнения — брызжет истина". Тем не менее споры продолжались еще долгие годы. Это была одна из наиболее широких дискуссий того времени, в которых Пуанкаре играл роль центральной фигуры. Достигнув вершины науки, он не успокоился в благополучии общепризнанного лидера французских ученых. Все та же стремительность и неустанность мысли отличают его творчество, все тот же безудержный интерес ко всему многообразию проявлений человеческого разума движет его интеллектом. Всегда он в центре научной жизни: вокруг него или благодаря ему идут горячие споры и вспыхивают жаркие дискуссии. Можно смело сказать, что ни один сколько-нибудь значительный вопрос из области точных наук, обсуждавшийся в то переломное время научной общественностью, не был обойден вниманием Пуанкаре.
Глава 13 МЫСЛИ ДЛЯ БУДУЩЕГО
Вся орбита науки
Долгое время после переезда в Париж молодая чета Пуанкаре не имела детей. В 1887 году у них родилась дочь, через два года — вторая, еще через два года — третья. В 1893 году мадам Пуанкаре родила сына. Жизнь Анри Пуанкаре в кругу семьи текла плавно и однообразно, лишенная каких бы то ни было внешне примечательных событий. Это было скромное, безмятежное существование, непрерывная размеренность будней. Встав в семь часов утра, он сразу же после завтрака уходил из дома. Второй завтрак был в полдень, а обед — в семь часов вечера. Около десяти часов вечера Пуанкаре ложился спать. Этот раз и навсегда заведенный порядок, по-видимому, был единственно приемлемым вариантом при том чрезмерном творческом напряжении и при той безоглядной отдаче сил, с которыми была сопряжена его интенсивная умственная деятельность.