Путешествие по карте языков мира

Леонтьев Алексей Алексеевич

Наша, так называемая позиционная система счисления и записи менее «очевидна» и требует известной условности. Она возникла, по-видимому, в Древней Индии, откуда мы через посредство арабов заимствовали не только самую систему, но и арабские цифры. Причем вот что любопытно: историки математики обнаружили, что у древних индусов еще до появления позиционной записи существовала словесная система обозначения чисел, употреблявшаяся преимущественно в научных трудах. Строго говоря, были даже две системы. Одна сокращенная. В ней каждое число обозначалось названием предмета, который обычно встречается в данном количестве (например, единица обозначалась словом «луна», 2 — «глаза», 5 — «чувства»). И число 125 читалось как «чувства-глаза-луна». Другая была более

строгой: в ней существовали специальные слова для всех разрядов вплоть до 10¹⁶, и, скажем, число 1936 читалось по-древнеиндийски «одна тысяча девять сотен три десятка шесть».

Легко видеть, что здесь встретились два принципа: принцип «мультипликативности», т. е. представление, скажем, 900 как 9x100, 30 — как 3x10 и т. д., и собственно «позиционный» — принцип линейного расположения цифр, соответствующих последовательным разрядам: 5-2-1 (или, что то же самое, 1-2-5). Наша система нумерации своего рода гибрид двух принципов.

Почему же она, несмотря на меньшую наглядность, вытеснила все прочие системы и единовластно воцарилась в математической теории и практике? Как пишет советский историк математики В. И. Лебедев, «причина довольно простая. Нумерации: словесная, азбучная, римская, клинообразная и т. д. — являются пригодными только для записывания результата исчисления; наша система способствует с удивительной силой самому выполнению счета. Попробуйте перемножить.

DCXXXII

х CCLXXIV

— римские обозначения помогут мало»… Проще с алфавитными системами, но они тоже не слишком удобны. Чтобы перемножить, скажем, 13x18, в алфавитных системах (византийской, славянской) считали так:

13 х 18 = (10 + 3) х (10 + 8) =

= 10 (10 + 8) + 3 (10 + 8) =

= 100 + 80 + 30 + 24 = 234.

Подумайте, сколько вычислений пришлось бы делать, для того чтобы помножить 132 на 186! Причем все промежуточные операции, такие, как З х 10 или сложение 100 + 80 и т. д., делались в уме, без «бумажки». Учитывая, что еще в XVI в. теорема Пифагора, например, называлась «ослиным мостом» и воспринималась как верх математической сложности, легко себе представить, как мучились наши бедные предки с подобными вычислениями!

Мы не будем углубляться далее в историю. Обратим внимание лишь на одну важную особенность. Раньше люди не считали с помощью цифр. Они лишь записывали числа с их помощью. А считали или при посредстве каких-то предметов, сгруппированных в «кучки» известного размера (пальцы, камешки, косточки счетов), или при помощи языка, который, в сущности, копировал счет по пальцам или по другим предметам. Н. И. Миклухо-Маклай описывает способ счета у папуасов так: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе»… пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе»… пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). В очень многих языках обозначение чисел как раз восходит к подобной манере счета. Скажем, на языке негров зулу «8» буквально значит «согни два пальца», «9» — «согни один палец» (если считать одной правой рукой и начиная с 6 по одному разгибать пальцы). Так вот. Счет развивается, как правило, от предметов к обозначающим их словам и затем к обозначающим слова знакам — цифрам. Язык позволяет удобно считать предметы, но при его помощи затруднительно вычислять — складывать, вычитать, а тем более умножать и делить. Для этого цифры несравненно удобнее.

С птичьего полета

А теперь вернемся назад и взглянем на другие вспомогательные средства мышления и вообще на эквиваленты языка в человеческой деятельности. Легко видеть, что все они делятся на две группы. А именно: одни из них с самого начала совершенно самостоятельны и лишь впоследствии начинают сочетаться с языком, а затем язык все

более и более вытесняет их. Таковы труд в роли передатчика человеческого опыта, мнемотехнические средства. Но есть и другие «заместители» языка, которые, чем дальше, тем больше вытесняют язык в той или иной его функции и становятся на его место, — планы и карты, чертежи, система цифрового обозначения чисел и т. д. Кстати, в различных языках сейчас происходит один и тот же очень любопытный процесс: вместо того чтобы называть числа так, как «положено» по нормам языка, начинают просто перечислять названия цифр, образующих данное число при позиционной записи.

Но хотя цифровые и другие условные знаки для чисел и операций над ними все больше и больше вытесняют язык как орудие счета, он остается все же — пусть на заднем плане — главным действующим лицом. И нельзя научиться высшей математике, не сталкиваясь со словесным определением основных математических понятий, словесной формулировкой аксиом, теорем, постулатов. Другой вопрос, что, занимаясь математическими вычислениями, мы можем как угодно высоко воспарить в небеса абстракции и не мыслить себе никакого реального звучания математических формул; но все равно мы продолжаем стоять на почве языка, и наши представления формул — те же самые образы-мысли, с которыми мы сталкивались в первой главе, когда говорили о внутренней речи. «…Все хорошо отработанные мысли требуют слов», — говорит известный английский философ Б. Рассел.

В этой главе мы рассмотрели различные явления, которые частично совпадают по функции с языком, — семиотические системы, выступающие в функции регулирования человеческого поведения. Труд и письмо наряду с языком используются как средства усвоения общественно-исторического опыта; то же письмо — как средство закрепления результатов мышления; мнемотехнические средства, планы и карты, чертежи и схемы, наконец, цифровые обозначения — как орудия мышления и средства регулирования. Причем некоторые из заместителей языка вытесняют его, другие же сами вытесняются языком.

Если мы вернемся к началу этой главы, и посмотрим, какие функции способен выполнять язык, то увидим, что в нашем перечне его заместителей отсутствуют заместители по одной, самой важной его функции. Мы говорим о способности языка быть орудием познания.

Что познавали мореплаватели?

Но разве нельзя узнать новое без помощи языка? Сфотографировали же обратную сторону Луны и начертили карту. Где же здесь-то словесное познание? Или вот пример попроще: простая географическая карта Европы с изломанной береговой линией, испещренной впадинами и выступами. Разве, чтобы изучить береговую линию, необходим язык?

Возражение серьезное.

Начнем с Луны. Здесь читатель явно и несомненно ошибается. Ведь карта обратной стороны Луны не сама собой возникла на экране телевизора или на фотопленке. Астрономы — или, лучше сказать, астрографы — увидели не карту, а нечто вроде аэрофотоснимка, где каждую деталь еще нужно интерпретировать. И вот каждое пятнышко относилось к определенному, закрепленному языковым ярлычком классу явлений: кратер, впадина, гора, трещина в поверхности Луны. И только после этого все особенности рельефа были нанесены на карту.

А как обстоят дела с нашей Землей? Действительно, является ли наше познание особенностей береговой линии Европы словесным? Нет. Но не спешите ловить автора на слове. Оно не только не является словесным — оно и не познание.

Познание всегда прибавляет сведения в общественно-исторический опыт человечества, откладывает в общественную сокровищницу какие-то ценности, добытые наукой, или практикой, — ценности, которые наука или практика может в дальнейшем почерпнуть из сокровищницы.