Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма
Шрифт:
Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней теоремой. Вывод, который математик записал на латыни на небольших полях книги, был следующим:
"Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть записано в виде суммы двух степеней того же уровня".
В современной алгебраической записи эта теорема утверждает, что уравнение х + у = z при n > 2 не имеет натуральных решений; то есть не существует натуральных чисел и которые соответствуют заданному условию: иметь кубическую (или большую)
Теорема Ферма применяется исключительно к натуральным числам (тем, с помощью которых мы считаем предметы: 1, 2,3,... и так до бесконечности); хотя в оригинальном высказывании автор не сформулировал данного условия открыто, это понятно из контекста.
Геометрическое представление теоремы Пифагора.
Стоит спросить, почему Ферма говорит только о показателях степени больше двух. Ответ прост. Для случая n = 1 мы имеем тривиальное высказывание: действительно, любое натуральное число, большее единицы, может быть выражено в виде суммы двух других чисел (необязательно различающихся между собой). Если n = 2, мы сталкиваемся с известнейшей теоремой Пифагора (см. рисунок), выраженной в алгебраической форме: x2 + у2 = z2.
У этого уравнения не существует решений для любых натуральных чисел; но все-таки какие-то решения найти можно. Первое из них — это x = 3, у = 4 и z = 5:
32 + 42 = 9 + 16 - 25 = 52.
Другой пример — это х = 5, у = 12 и z = 13; еще один: х = 65, у = 72 и z = 97. Можно доказать, что существует бесконечное количество множеств из трех натуральных чисел, выполняющих данное требование; такие множества известны как пифагоровы тройки.
Итак, Ферма утверждал, что если заменить показатель степени, равный двум, на больший, то не существует тройки натуральных чисел, при которых такое уравнение было бы истинным и которую мы могли бы назвать "тройкой Ферма". При таком определении Последняя теорема Ферма равносильна утверждению, что не существует троек Ферма.
Несложно представить себе, как математик получил этот результат. Он некоторое время анализировал пифагоровы тройки и их свойства. Речь идет о записи квадрата в виде суммы двух квадратов так, чтобы все используемые числа были натуральными. Разумно предположить: поставив перед собой эту проблему, Ферма также задался вопросом, что произойдет, если вместо квадратов использовать кубы, четвертые степени и так далее. В конце концов, одной из самых естественных тенденций для математика является поиск обобщенного результата или, по крайней мере, исследование возможных обобщений.
Понять поставленную задачу довольно просто, и хотя уже половина ее решения заключается в этом понимании, вторая половина, в случае теоремы Ферма, сформулированной в 1637 году, чрезвычайно сложна. Почему? Чтобы попытаться ответить на данный вопрос, нужно совершить "небольшое" путешествие в прошлое, примерно за 2100 лет до Ферма, во времена Пифагора, — не только из-за связей, которые имеются у Великой теоремы с пифагоровыми тройками.
Вернемся к началу времени математики для понимания природы математического доказательства. Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас, были созданы через несколько веков после его смерти, и поскольку последователи разве что не обожествляли Пифагора, значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов. Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.
Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему, которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и применяли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неоднократно проверили ее на практике и убедились в ее истинности. Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использовали математику эмпирически: если они систематически убеждались, что результат верен, они обобщали его и думали, что он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение. Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем ее, даже если и не понимаем, почему она работает.
Однако то, что сделал Пифагор, было действительно революционно: он пришел к убеждению, что эмпирических инструкций недостаточно и что требуется строгое доказательство их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец философии, уже занимался выведениями доказательств, но Пифагор превратил поиск математического доказательства в систематическую программу. Он сделал нечто удивительное: пришел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить. Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство, основанное на логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем миллион экспериментов.
Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически.
Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов равна (а + b)2, но ее можно выразить и другим способом. В квадрате слева общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и b, то есть
1/2 · ab
для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна
A1 = a2 + b2 + 4(1/2 · ab)
Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:
A2 = c2 + 4(1/2 · ab).
Так как А1 и А2 равны, то
a2 + b2 + 4(1/2 · ab) = c2 + 4(1/2 · ab).
И, после сокращения уравнения:
а2+b2=с2.
Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.