Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на главную

Жанры

Поделиться:

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
6.25 + -

рейтинг книги

Шрифт:

Слово к читателю

Перед вами, дорогой читатель, задачник, адресованный тем, кто готовится к поступлению в вуз. Подобных пособий много, и поэтому, прежде чем приступить к систематическим занятиям, вам предстоит сделать разумный выбор.

Данный сборник представляет собой альтернативу существующим пособиям. Это не набор задач, а набор идей и приемов, используемый при их составлении и решении. И набор минимальный: здесь не тысячи, а примерно 500 задач. На каждую можно потратить по полчаса, а на некоторые — даже по часу. Но общий лимит времени, отведенного на подготовку к вступительным экзаменам, окажется приемлемым.

Мы построили книгу

так, чтобы научить читателя самостоятельно решать математические задачи. А для этого он прежде всего должен понять особенности этих задач и задуматься над тем, что их отличает от задач, формулируемых в других науках. Надеемся, что такое понимание появится у читателя после того, как он прочтет материал, содержащийся во введении. Тем самым будут созданы предпосылки для успешной работы с материалом основных глав книги, и читатель сможет перейти к решению задач, приобретая необходимые навыки и накапливая опыт по их разумному применению.

Чтобы помочь в этом читателю, мы избрали простейшую форму, снабдив каждую задачу указаниями, т. е. подсказками, помогающими найти правильный путь к решению. Таких подсказок может быть от одной до трех. Задач с тремя подсказками совсем немного. Для большинства задач имеются одно или два указания. Пользоваться ими можно легко научиться, приступив к систематической работе с задачником. Наш совет: не надо торопиться сразу читать решения. Иной раз, не зная сути указаний, будет трудно его понять.

Первые и вторые указания собраны в самостоятельные разделы. Если к задаче дано только первое указание, то в конце его стоит знак (!). В тех случаях, когда не удается обойтись двумя указаниями, в конце второго стоит знак (!!) и непосредственно после него помещено третье (дополнительное) указание.

Итак, данный задачник содержит необходимый минимум задач, которые предстоит научиться решать при подготовке к вступительному экзамену. Удобно пользоваться двумя задачниками одновременно: данным — для приобретения навыков и хорошо известным задачником M. И. Сканави — для проверки достигнутого уровня подготовки.

В издание включены 50 новых задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в последние годы. Вместе с тем некоторые задачи, не отражающие современную программу математики средней школы, исключены. Оставлены лишь задачи по комбинаторике, которые полезны для факультативных занятий и нужны тем, кто готовится к вступительному экзамену по биологии.

В свое время мы написали этот задачник с замечательным педагогом — Евгением Борисовичем Ваховским. При подготовке данного издания я стремился сохранить уважительное отношение к нашему читателю, которое всегда было для нас обязательным требованием.

Я желаю каждому, кто воспользуется этой книгой, успехов и надеюсь, что вы пришлете свои замечания, пожелания, а также возможные уточнения и дополнения в адрес издательства.

А. Рывкин

Введение

Способы доказательных рассуждений в математике и в других научных дисциплинах различны. Естественным для человеческого сознания является индуктивное мышление, т. е. накопление фактов и последующее их обобщение в рамках теории. В математике все не так. Математика — наука дедуктивная, в ней от общих понятий переходят к частным, устанавливая свойства соответствующих им объектов.

Исходные положения математической теории как бы заранее фиксированы. Это базовые понятия, которые не могут быть математически определены через другие, более широкие понятия, так как сами являются строительными элементами будущей теории (точка, прямая, плоскость, натуральное число). Отношения между базовыми понятиями, принимаемые как истинные, называют аксиомами. Строго говоря, сами базовые понятия вместе с аксиомами, которые их связывают, можно воспринимать как общее развернутое определение основных базовых понятий. (Это не исключает последующего пополнения списка базовых понятий и аксиом.)

Поясним, что мы понимаем под математическим определением и чем оно отличается от других определений.

Иногда говорят, что натуральные числа — это числа, возникающие в процессе счета. Или же, что точка — трехмерный геометрический объект, не имеющий длины, ширины и высоты. Дают и такое определение числа 2: 2 — это то общее, что присуще всем группам предметов, состоящих из двух элементов.

Такие определения нельзя считать математическими.

Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.

Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.

Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений. Натуральное число было определено через более общее понятие числа, а точка — через более широкое понятие трехмерного геометрического объекта. Однако в этом случае возникает вопрос: что такое число и что такое трехмерный геометрический объект? Эти два понятия нельзя избрать в качестве базовых, ибо они слишком сложны, чтобы им можно было дать разумное интуитивное толкование. Понятие числа в математике достаточно изящно конструируется из понятия натурального числа путем последовательного расширения наших представлений о числе: вводятся отрицательные целые числа и нуль, рациональные числа, иррациональные числа. Точно так же понятие геометрического объекта предполагает большое разнообразие конкретных реализаций, конструируемых посредством определений из простейших, т. е. элементарных понятий, какими являются точка, прямая, плоскость. K тому же мы не обязаны ограничиваться рассмотрением только трехмерного геометрического пространства, в котором плоскость имеет два измерения, прямая — одно, а точка имеет нулевую размерность. Если мы решимся исследовать пространства четырех измерений и более, то размерности точки, прямой, плоскости останутся неизменными.

Приведем примеры того, как в математике определяют новые понятия (они набраны прописными буквами) и укажем в каждом из определений родовое понятие (полужирный шрифт) и видовое отличие (курсив).

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны и параллельны.

ТРАПЕЦИЯ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, кратные числу 2.

Комментарии:
Популярные книги

Страж. Тетралогия

Пехов Алексей Юрьевич
Страж
Фантастика:
фэнтези
9.11
рейтинг книги
Страж. Тетралогия

Ваше Сиятельство 2

Моури Эрли
2. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 2

Шериф

Астахов Евгений Евгеньевич
2. Сопряжение
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
рпг
6.25
рейтинг книги
Шериф

Сильнейший ученик. Том 1

Ткачев Андрей Юрьевич
1. Пробуждение крови
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Сильнейший ученик. Том 1

Небо для Беса

Рам Янка
3. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.25
рейтинг книги
Небо для Беса

Авиатор: назад в СССР 10

Дорин Михаил
10. Покоряя небо
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Авиатор: назад в СССР 10

Сердце Дракона. Том 9

Клеванский Кирилл Сергеевич
9. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
7.69
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 9

Кодекс Охотника. Книга XIV

Винокуров Юрий
14. Кодекс Охотника
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XIV

Найди меня Шерхан

Тоцка Тала
3. Ямпольские-Демидовы
Любовные романы:
современные любовные романы
короткие любовные романы
7.70
рейтинг книги
Найди меня Шерхан

Неестественный отбор.Трилогия

Грант Эдгар
Неестественный отбор
Детективы:
триллеры
6.40
рейтинг книги
Неестественный отбор.Трилогия

Покоритель Звездных врат

Карелин Сергей Витальевич
1. Повелитель звездных врат
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Покоритель Звездных врат

Законы Рода. Том 4

Flow Ascold
4. Граф Берестьев
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Законы Рода. Том 4

Столичный доктор. Том III

Вязовский Алексей
3. Столичный доктор
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Столичный доктор. Том III

Энфис 4

Кронос Александр
4. Эрра
Фантастика:
городское фэнтези
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 4