Страницы истории науки и техники
Шрифт:
Для успеха в работах, которые проводил Ньютон в области физики, ему был необходим более совершенный математический аппарат, нежели имевшийся к тому времени. Эта задача была решена Ньютоном и Лейбницем, создавшими независимо друг от друга дифференциальное и интегральное исчисление — основу высшей математики, имеющее очень большое число приложений. Для этого Ньютону и Лейбницу необходимо было пользоваться понятием бесконечно малой величины — такой переменной величины, которая в процессе своего изменения становится меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом своего изменения нуль.
Ньютон рассматривал математику как абстрагированное отображение физических (механических) процессов. Он ввел два типа переменных величии: независимую переменную (аргумент), под которой понимал, учитывая, что
135
Слово «функция» в математике отвечает двум понятиям: 1) так называется зависимая переменная, обозначаемая буквой у, 2) этим же термином именуется зависимость (функциональное уравнение), связывающая зависимую переменную величину у с независимой переменной величиной, обозначаемой x; таким образом, у = F(х).
Ньютон является вместе с Лейбницем не только основоположником дифференциального и интегрального исчисления. Ньютону также принадлежат работы, открывшие широкие возможности применения этих новых математических методов. В их числе — определение флюксий (производных) для различных типов уравнений, связывающих зависимую переменную (функцию) с независимой (аргументом). Заметим, кстати, что если бы мы воспользовались современной терминологией (терминами, помещенными в скобках), то для современных читателей предыдущая фраза выглядела бы гораздо более удобной: в их числе — определение производных для различных типов функциональных зависимостей.
В частности, Ньютон решил задачу определения производной для степенной функции у = хn (где х — аргумент, у — зависимая переменная функция, n — показатель степени), а также для некоторых других функций.
Ньютон и Лейбниц предложили и ввели в практику интегральное исчисление, интегрирование (лат. integer — целый), являющееся обратным действием по отношению к дифференцированию: если дифференцирование есть определение производной какой-либо функции, т. е., как следует из сказанного выше, определение предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, или производная
то интегрирование есть определение первоначальной функциональной зависимости y=F(x) по уравнению производной y'=f(x) или
где с — константа интегрирования.
Таким образом, если требуется, например, найти уравнение, определяющее скорость движения тела в зависимости от времени, зная как изменяется по ходу времени пройденный телом путь (именно такого рода данные, а следовательно, и расчетное уравнение можно получить опытным путем, давая телу свободно падать под действием силы тяжести), то необходимо применить дифференциальное исчисление. Если же, наоборот, уравнение, связывающее скорость движения тела и время, известно и нужно определить зависимость пройденного телом пути от времени, то необходимо воспользоваться интегральным исчислением.
Следует заметить, что Ньютон и Лейбниц, разрабатывая дифференциальное и интегральное исчисление, использовали различный подход к проблеме; подход Ньютона можно было бы назвать физическим (у него главную роль играло понятие скорости), Лейбниц же подходил к проблеме как геометр (рассматривая задачу о проведении касательной к данной точке кривой). Естественно, что они пользовались различными символами и терминологией. В дальнейшем получили распространение символы и терминология Лейбница. Они используются в математике и в настоящее время.
Ньютону принадлежит решение важной практической задачи — преобразования некоторых функций, в том числе логарифмической, показательной (аргумент — показатель степени), некоторых тригонометрических, в бесконечные степенные ряды (так называемое разложение в ряды).
Имя Ньютона носит формула (бином Ньютона), дающая возможность представить двучлен в некоторой степени (а + b)n в виде суммы степеней слагаемых. Например, в простейшем случае для n = 2 получается хорошо известное выражение (а+b)2 = а2+2аb+b2. Собственно говоря, формула, очень близкая по своему виду к биному Ньютона, была известна задолго до Ньютона. Заслуга Ньютона заключается в том, что он усовершенствовал ее, сделав применимой не только для целых, положительных значений показателя степени n, как это было раньше, но также и для дробного и отрицательного показателя.
Известны также работы Ньютона в области алгебры.(в частности, данное им определение числа как отношения длин отрезков — произвольного и избранного за единицу; это определение имело немалое значение для развития представлений о действительном числе), геометрии (как аналитической, так и проективной), интерполяции (т. е. отыскания промежуточных значений какой-либо величины, заданной не уравнением, а отдельными численными значениями, в частности интерполяционная формула Ньютона, используемая и в настоящее время), вариационного исчисления (раздел математики, предметом исследования которого является определение наибольших и наименьших значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций) и в других областях математики.
К сказанному хотелось бы добавить немного о методе интерполяции, пользе, получаемой от его применения в науке и технике. Воспользуемся примером. Допустим, что требуется найти какое-либо свойство и (теплоемкость, вязкость, теплопроводность, электропроводность) определенного вещества, например газа. Численные значения свойств вещества — величины переменные, зависящие от состояния вещества, в свою очередь определяемого по крайней мере двумя параметрами состояния (х, у), например температурой и давлением. На математическом языке это может быть представлено так: u = (х, у), т. е. свойство вещества есть некоторая функция состояния вещества (параметров состояния). К сожалению, эта функция достаточно точно неизвестна (за исключением редких частных случаев). Поэтому в большинстве случаев приходится прибегать к опытному определению численных значений и для различных х и у, в результате чего можно получить экспериментальные точки, подобные представленным на рис. 5. Здесь по оси ординат отложены значения и, по оси абсцисс — значения х; различные группы точек, как это показано на рис. 5 отвечают разным значениям у: у1, у2, у3… Проведенная для у1 кривая — результат интерполяции. По ней и аналогичным кривым для у2, у3, и т. д. может быть составлена таблица значений и для круглых величин х и у.
Рис. 5. Интерполяция опытных данных
Как уже сказано, Ньютон много сделал для развития метода интерполяции. Существует также метод экстраполяции (лат. extra — сверх, вне и polio — приглаживать), отличие которого от интерполяции заключается в том, что с его помощью могут быть получены данные, лежащие за пределами исходных (отрезок кривой ab на рис. 5). Разумеется, метод экстраполяции менее надежен и точен, чем метод интерполяции.