Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни
Шрифт:
Для того чтобы предотвратить такое «упорядочение хаоса», необходимы более объективные или независимые способы. Один из них сводится к тому, чтобы придерживаться определенного твердого правила, но это правило необходимо держать в тайне и оно должно быть достаточно сложным, чтобы его трудно было обнаружить. Возьмем в качестве примера длину предложений в нашей книге. Если в предложении нечетное число слов, присвоим ему имя «орел», а если четное – «решка». Это и есть достаточно эффективный генератор случайных чисел. Если рядом с вами нет нашей книги, не беспокойтесь: мы можем предложить вам и другие способы формирования последовательности случайных чисел. Возьмите несколько дат рождения ваших друзей и родственников и загадывайте «орел» на четные даты, а «решку» – на нечетные. Или посмотрите на секундную стрелку своих часов. Если ваши часы не выставлены с точностью до секунды, никто, кроме вас, не узнает, на какой отметке находится секундная стрелка. Мы рекомендуем питчеру, который должен смешивать броски в пропорции 50:50, или кэтчеру, готовящемуся принять подачу, перед каждым
Насколько успешно применяли метод рандомизации лучшие профессиональные теннисисты и футболисты? Анализ данных о финальных матчах турниров «Большого шлема» позволил обнаружить интересную закономерность: теннисисты переключались с подачи справа на подачу слева чаще, чем это могло происходить случайно (если говорить на языке статистики, наблюдалась отрицательная сериальная корреляция). Однако эта закономерность была, по всей видимости, слишком слабой, чтобы соперники заметили и использовали ее в своих интересах, что подтверждает статистически несущественная разница между показателями эффективности разных подач. Что касается штрафных ударов в футболе, рандомизация была почти безупречной, а смена стратегий (отрицательная сериальная корреляция) – статистически несущественной. Это вполне закономерно: между штрафными ударами, которые выполняет один и тот же игрок, проходит несколько недель, поэтому тенденция к смене стратегий менее заметна.
Судя по всему, участники чемпионатов по игре «камень, ножницы, бумага» придают слишком большое значение стратегиям, подразумевающим сознательный отказ от рандомизации, и пытаются использовать с выгодой для себя попытки соперников распознавать закономерности в игре. Насколько успешны эти попытки? Судить об этом можно, в частности, по стабильности успеха. Если некоторые игроки добиваются более весомых результатов, когда применяют нерандомизированные стратегии, они должны выигрывать одно соревнование за другим, из года в год. Но у Всемирной ассоциации игроков в КНБ «нет персонала, который фиксировал бы результаты всех участников чемпионатов, а этот вид спорта еще не получил достаточно широкого распространения, чтобы эту информацию отслеживал кто-то еще. В целом среди участников чемпионатов не так уж много игроков, которые добиваются статистически устойчивых результатов, хотя серебряный медалист чемпионата 2003 года снова вошел в финальную восьмерку в следующем году» [70] . Все это говорит о том, что тщательно продуманные стратегии не обеспечивают игрокам устойчивого преимущества.
70
Электронное письмо Грэма Уокера из Всемирной ассоциации игроков в КНБ за 1 июля 2006 года.
Почему бы не положиться на то, что другой игрок использует метод рандомизации стратегий? Если один участник игры применяет оптимальное смешивание стратегий, то его показатель эффективности останется неизменным, что бы ни сделал соперник. Предположим, в примере с пенальти вы футболист, выполняющий штрафной удар, а вратарь использует оптимальное смешивание стратегий: «слева» – 41,7 процента, «справа» – 58,3 процента. В данной ситуации вы забьете гол в 79,6 случаев, какую бы стратегию ни выбрали: слева, справа или любое их сочетание. Когда вы поймете это, может появиться соблазн обойтись без расчета своего оптимального варианта смешивания стратегий, а вместо этого просто придерживаться какой-то одной линии поведения и рассчитывать на то, что другой игрок использует свой оптимальный вариант. Проблема в том, что, если вы не применяете свою оптимальную смешанную стратегию, у вашего соперника нет стимула продолжать использовать свой вариант смешивания стратегий. Например, если вы будете неизменно выбирать стратегию «слева», вратарь тоже начнет прикрывать только свою левую сторону. В этом и состоит причина: вы должны применить свою оптимальную смешанную стратегию, для того чтобы заставить соперника и дальше использовать свой оптимальный вариант смешивания стратегий.
Уникальные ситуации
Эта логика имеет смысл в таких играх, как футбол, бейсбол или теннис, в которых одна и та же ситуация складывается много раз в течение одного матча, а в борьбу во многих матчах вступают одни и те же игроки. Кроме того, в этих играх есть время и возможность обнаружить любые системные действия соперников и отреагировать на них. С другой стороны, важно избегать в игре таких схем, которые соперники могут использовать с выгодой для себя, и придерживаться оптимальной смешанной стратегии. Но как быть с играми, которые происходят только один раз?
Рассмотрим в качестве примера выбор позиций для наступления и обороны во время сражения. Эта ситуация поистине уникальна: противник не может вывести какую бы то ни было закономерность на основании ваших прошлых действий. Однако необходимость в случайном выборе возникает в связи с возможностью шпионажа. Если вы выберете определенный курс действий, а противник узнает, что вы собираетесь делать, он изменит свой план так, чтобы поставить вас в самое невыгодное положение. Вам необходимо застать противника
И наконец, хотелось бы сделать одно предостережение. Даже если вы используете оптимальный вариант смешивания стратегий, все равно в некоторых случаях вы будете получать плохой результат. Даже если игрок, выполняющий пенальти, действует непредсказуемо, вратарь может угадать направление удара и отразить его. В американском футболе, когда после третьей попытки осталось пройти один ярд, разумно прорываться с мячом посередине, но важно также время от времени делать длинный пас, чтобы не дать защищающейся команде разгадать схему нападения. Если такой пас оказывается успешным, болельщики и спортивные комментаторы восхищаются столь изобретательным выбором схемы игры и называют тренера гением. В случае неудачного паса тренера подвергают жесткой критике: как он мог делать ставку на длинный пас, вместо того чтобы выбрать более безопасную схему игры?
Разъяснять стратегию тренера необходимо еще до ее применения в том или ином матче. Тренер должен донести до всеобщего сведения тот факт, что прорыв с мячом посередине поля остается элементом осторожной и методичной схемы игры именно благодаря отвлечению части игроков защищающейся команды на оборону от случайного длинного паса, который может обойтись команде слишком дорого. Однако мы допускаем, что даже если накануне игры тренер во всеуслышание заявит об этом во всех газетах и на всех телеканалах, а затем использует длинный пас, который окажется неудачным, на него все равно обрушится лавина критики, как если бы он и не пытался объяснить широкой публике элементы теории игр.
Смешивание стратегий в неантагонистических играх
До сих пор мы рассматривали в этой главе только антагонистические игры, в которых интересы игроков полностью противоположны: игры с нулевой суммой или игры с постоянной суммой. Однако мы неизменно подчеркиваем, что в реальной жизни интересы людей могут совпадать, а могут и противоречить друг другу. Играет ли смешивание стратегий значимую роль в играх с ненулевой суммой? Да, но с некоторыми условиями.
В качестве иллюстрации еще раз рассмотрим охотничью версию игры «семейный спор», о которой шла речь в главе 4 . Вспомните наших отважных охотников Фреда и Барни, которые решают (каждый в своей пещере), на какого зверя им охотиться – на оленя или на бизона. Удачная охота требует совместных усилий обоих охотников, поэтому, если они выберут противоположные варианты, никто из них не добудет мяса. И Фред, и Барни заинтересованы в том, чтобы предотвратить такой итог. Однако помимо двух вариантов благополучного исхода (при условии, что они охотятся на одном участке) нужно учесть, что Фред отдает предпочтение мясу оленя и оценивает результат совместной охоты на этого зверя как четыре вместо трех единиц мяса, тогда как у Барни противоположные предпочтения. Следовательно, таблица их выигрышей выглядит так:
Как мы уже убедились, в этой игре есть два равновесия Нэша; в таблице они выделены серым цветом. Теперь мы назвали бы их равновесиями в чистых стратегиях. Но возможно ли такое равновесие в игре со смешанной стратегией?
По каким причинам Фред выбрал бы смешанную стратегию? Возможно, он не уверен в том, что именно выберет Барни. Если под влиянием этих субъективных сомнений Фред оценивает число случаев, когда Барни выберет охоту на оленя и на бизона, как y и (1 – у) соответственно, тогда он рассчитывает на выигрыш в размере 4y + 0(1 – y) = 4y, если он сам выберет охоту на оленя, и 0y + 3(1 – y), если он сам выберет охоту на бизона. Если y имеет значение, при котором 4y = 3(1 – y), или 3 = 7y, или y = 3/7, тогда Фред получит один и тот же выигрыш, выбрав стратегию охоты на оленя или на бизона, а также если он решит использовать обе стратегии в любой пропорции. Предположим, что Фред смешивает стратегию охоты на оленя и на бизона в таких пропорциях, что для Барни не имеет значения, какую из чистых стратегий выбрать. (Эта игра симметрична, поэтому вы можете предположить – и подтвердить это предположение расчетами, – что Фред должен смешивать свои стратегии, выбирая охоту на оленя в x = 4/7 случая.) При этом Барни тоже мог бы смешивать свои стратегии по такому принципу, чтобы Фреду было все равно, какую стратегию выбрать, а значит, Барни сам мог бы выбрать оптимальную стратегию. Эти два варианта смешивания стратегий – x = 4/7 и y = 3/7 – образуют равновесие Нэша в смешанных стратегиях.