Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни
Шрифт:
Ответ на вопрос о том, какой должна быть величина предложения, можно найти с помощью одного из самых заметных достижений теории аукционов – теоремы эквивалентности доходов. Оказывается, что, если ценность предмета торгов носит личный характер, а игра симметричная, продавец заработает в среднем одну и ту же сумму в ходе любого аукциона – английского, аукциона Викри, голландского или закрытого {141} . Это означает, что в голландском и закрытом аукционах имеется симметричное равновесие, когда оптимальная стратегия торгов сводится к тому, чтобы предлагать цену, которая, по вашему мнению, эквивалентна следующей самой высокой ценности предмета торгов при условии, что для вас он представляет наибольшую ценность.
141
Этот вывод впервые сформулировал Роджер Майерсон.
В симметричном аукционе у каждого участника есть свое мнение обо всех остальных. Например, каждый аукционер может считать, что ценность предмета торгов для всех остальных покупателей находится в диапазоне от 0 до 100. В таком случае, будь то голландский или закрытый аукцион, вы должны предлагать цену, которая, по вашему мнению, эквивалентна следующей самой высокой ценности предмета торгов при условии, что для всех остальных покупателей он представляет более низкую ценность. Если ваша ценность 60, вы должны предложить цену 30 при условии, что в торгах принимает участие только еще один покупатель, 40 – если два покупателя, и 45 – если три покупателя {142} .
142
В целом вы должны исходить из предположения, что ценность предмета торгов для других аукционеров распределена равномерно между его ценностью для вас и 0. Так, если в торгах кроме вас принимает участие только один покупатель, ценность предмета торгов для него равна половине вашей ценности; если два покупателя – 20 и 40, если три – 15, 30 и 45 соответственно. Вам необходимо предлагать цену, эквивалентную максимальной ожидаемой ценности предмета торгов для ваших соперников. По мере увеличения числа участников аукциона ценовое предложение каждого из них приближается к значению ценности, которую представляет для них предмет торгов. Когда это происходит, на рынке устанавливается идеальная конкуренция, а весь выигрыш достается продавцу.
Очевидно, что это приведет к равенству доходов. В аукционе Викри выигрывает аукционер, для которого предмет торгов представляет наибольшую ценность, но платит он вторую самую высокую цену, соответствующую второй по величине ценности предмета торгов для следующего покупателя. В закрытом аукционе каждый его участник предлагает цену, которая, по его мнению, эквивалентна второй самой высокой ценности предмета торгов (при условии, что для него он представляет наибольшую ценность). Победит покупатель, для которого предмет торгов действительно представляет наибольшую ценность, а предложенная им цена будет в среднем такой же, как на аукционе Викри.
Из всего этого следует более общий вывод: даже если вы составите набор правил для той или иной игры, игроки найдут способ обойти их. Вы можете сказать, что каждый участник аукциона должен заплатить в случае победы сумму, в два раза превышающую предложенную ими цену, но это только заставит аукционеров предлагать в два раза меньшую цену. Вы можете сказать, что участники торгов должны платить предложенную цену в квадрате, но они просто извлекут квадратный корень из той цены, которую предложили бы при других обстоятельствах. То же самое происходит в ходе закрытого аукциона. Вы можете сказать аукционерам, что они должны платить предложенную цену, а не вторую. В ответ они просто напишут другую сумму. Вместо того чтобы предлагать цену, соответствующую истинной ценности предмета торгов, они снизят величину своего предложения до уровня, по их мнению, соответствующего второй самой высокой ценности предмета торгов.
В следующем разделе мы проанализируем самый крупный в мире аукцион – рынок казначейских векселей США.
Казначейские векселя
Каждую неделю казначейство США проводит аукцион, на котором определяется процентная ставка по государственным долговым обязательствам, по крайней мере по тем, срок действия которых истекает на текущей неделе. До начала 90-х годов по правилам этого аукциона победители должны были платить предложенную цену. По рекомендации Милтона Фридмана и других экономистов в казначействе США в 1992 году провели эксперимент с введением
Мы объясним разницу между этими двумя системами на следующем примере. Представьте себе, что казначейству США необходимо продать среднесрочные казначейские облигации на сумму 100 миллионов долларов за одну неделю. На покупку этих облигаций были поданы следующие заявки (миллионов долларов):
Казначейство заинтересовано в том, чтобы выплачивать доход по облигациям по самой низкой ставке доходности. Это означает, что оно начнет аукцион, приняв заявки на минимальную сумму. Таким образом, аукцион выигрывают все участники, готовые принять ставку не более 3,6 процента, а также половина тех участников аукциона, которые были согласны принять ставку 3,72 процента.
По старым правилам аукцион выигрывает заявка на 10 миллионов долларов при ставке 3,1 процента, а участники торгов, которые подали эту заявку, получат только 3,1 процента дохода на свои краткосрочные казначейские облигации. По заявке на 20 миллионов долларов при ставке 3,25 процента будут проданы облигации с доходностью 3,25 процента, и так далее до заявки на 20 миллионов долларов при ставке 3,72 процента. Обратите внимание на то, что заявка на сумму 20 миллионов долларов при ставке 3,72 процента может быть выполнена только наполовину, поскольку на продажу выставлены облигации на сумму 100 миллионов долларов {143} .
143
В правилах проведения этого аукциона было еще одно интересное условие, согласно которому участники аукциона, подающие заявки на небольшую сумму, могли получить на свои облигации ставку доходности, равную среднему от ставок победителей аукциона. Таким образом, если бы вы хотели подать заявку, но не желали вступать в борьбу с Goldman Sachs и другими опытными инвесторами, вы могли бы просто обозначить сумму, на которую вам необходимо купить облигации, без указания ставки доходности. В таком случае вы гарантированно выиграли бы аукцион, а ваша ставка доходности была бы равна среднему от ставок доходности облигаций, проданных победителям аукциона. Крупные инвестиционные банки не имели права подавать заявки согласно этому правилу; такое право предоставлялось только мелким инвесторам.
Согласно новым правилам проведения аукциона, выигрывают все заявки от 3,1 до 3,6 процента, а также половина заявок при ставке 3,72 процента. Правило единой цены гласит, что все участники аукциона, подавшие эти заявки, получат казначейские облигации с максимальной ставкой среди всех выигравших заявок, в данном случае 3,72 процента.
Вашей первой реакцией была бы мысль о том, что правило единой цены гораздо хуже прежней системы для правительства (и лучше для инвесторов). Вместо того чтобы выплачивать доход по облигациям по ставке от 3,1 до 3,72 процента, казначейство платит всем по ставке 3,72 процента.
Судя по цифрам, приведенным в данном примере, вы были бы правы. Однако на самом деле в этих двух случаях были бы поданы разные заявки. Мы использовали одни и те же цифры только для того, чтобы проиллюстрировать принцип действия аукциона. Это своего рода аналог третьего закона Ньютона в теории игр: на всякое действие есть противодействие. Если вы измените правила игры, следует ожидать, что игроки немного изменят способ подачи заявок.
Для того чтобы понять этот принцип, рассмотрим простой пример. Предположим, в казначействе США заявили, что вместо ставки доходности, на которую вы подали заявку, вы получите на ставку на 1 процент меньше. Следовательно, по заявке на облигации со ставкой доходности 3,1 процента будут предоставлены облигации со ставкой всего 2,1 процента. Как вы думаете, это изменит процент, который придется выплачивать казначейству?
Если взять те же восемь заявок, что и в предыдущем примере, ответ будет утвердительным, поскольку ставка 3,1 процента превращается в 2,1 процента, ставка 3,25 процента – в ставку 2,25 процента и так далее. Однако в этой новой системе любой инвестор, который раньше планировал подать заявку на облигации с доходностью 3,1 процента, теперь повысит ее до 4,1 процента. Каждый участник аукциона повысит ставку на 1 процент, а потом ситуация будет развиваться по прежнему сценарию.
На самом деле это приводит нас ко второй части третьего закона Ньютона: на всякое действие есть равное и противоположное противодействие. Вторая часть этого закона применима и к подаче заявок на аукционе, во всяком случае в тех примерах, которые мы здесь проанализировали. Реакция участников аукциона уравновешивает изменение правил.