Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Поэзия — это недоказуемая истина. Согласно словарному определению, цель поэзии — передать красоту с помощью слов. В том же толковом словаре математика определяется как дедуктивная наука, исследующая свойства таких абстрактных сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между ними. В это определение следовало бы включить один очень важный элемент: когда математик выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, он часто руководствуется их красотой. Лингвисты, которым буквы ближе, чем числа, видимо, не поняли до конца неразрывную связь между математикой и прекрасным, хотя кто-то из великих сказал, что именно красота — проводник на пути к математическим открытиям.

Математик находится посередине между наукой и искусством, и это также доказывает неизбежную связь между самой

абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Анри Пуанкаре писал: «Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».

Обо всем этом — о красоте математики, сколь реальной, столь и труднодостижимой, об эмоциях, неразрывно связанных с этой необычной наукой, и о многом другом рассказывается в нашей книге. Ее цель — показать красоту математики и на нескольких ярких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с математикой эмоций. Автор не ставил перед собой задачу создать развернутый теоретический дискурс или нагромоздить целую гору рассуждений и аргументов в защиту заявленной темы. Слишком много теоретизировать по поводу красоты математики столь же абсурдно, как и пытаться объяснить, чем именно прекрасна Девятая симфония Бетховена.

Все примеры представлены в соответствующем историческом и эмоциональном контексте, и их яркая мозаика раскрывает важные эпизоды человеческой истории за последние двадцать пять столетий. Автор постарался сделать изложение напряженным и интересным. Разумеется, мы не забыли и о традиционных искусствах — живописи, литературе и архитектуре, на примере которых мы продемонстрируем совпадения и подчеркнем различия.

Если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, он наверняка лишь удивленно поднимет брови. И тем не менее в массовом сознании укрепилась мысль о том, что математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения не лишены определенной красоты. Как это свойственно западной культуре, идея о связи между красотой и математикой сформировалась под влиянием великих законодателей мнений — классических древнегреческих философов. Для Платона пропорциональность и соразмерность, составлявшие суть древнегреческой математики, были синонимом красоты. Аристотель писал: «Важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность, и математика больше всего выявляет именно их». Впоследствии красоту математики восхваляло множество ученых и мыслителей. «Геометрия есть архетип красоты мира», — писал астроном, астролог и математик Иоганн Кеплер в XVII веке. Позднее, уже в XX столетии, философ и логик Бертран Рассел отмечал: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Лауреат Нобелевской премии по физике Поль Дирак говорил: «Физические законы должны обладать математической красотой».

И все же если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, никого не удивит скептическое выражение его лица. Должно быть, красота математики подобна очарованию классических произведений: о нем знают почти все, но мало кто смог почувствовать его сам.

Эту книгу следует начать с выражения, отражающего массовые представления: математика обладает красотой. Но чтобы умерить пыл излишне оптимистичных читателей, следует добавить, что насладиться этой красотой непросто. В этой главе мы объясним, в чем заключается красота, которой, по нашему мнению, обладает математика, а в следующей главе обсудим, почему математическую красоту столь сложно оценить. И вначале уточним значение понятий, о которых пойдет речь, то есть определим, что означает «математика» и «красота».

Британский физик Поль Дирак (1902–1984), совершивший множество открытий в квантовой механике, — один из многих ученых, видевших связь между математикой и красотой.

О том, что такое красота, написано множество скучных эссе и высказано множество мнений, как тревожных, так и приторно-слащавых. К первым можно отнести стихи Райнера Марии Рильке «Дуинские элегии»: «Красота — только первый укол ужаса, переносимый, но как сердце зашлось оттого, что мы поняли холод, с которым она отстранилась, чтоб нас не разрушить» [1] , ко вторым — фразу Стендаля «Красота есть обещание счастья». В этой книге мы не будем углубляться в научные трактаты в поисках сложного определения прекрасного или эстетичного. Обратимся к словарю. Вы увидите, что даже ничем не примечательное на первый взгляд словарное определение может оказаться весьма интересным.

В словаре мы прочтем такие строки: «Красота — свойство людей или вещей, которое заставляет любить их, пробуждая в нас душевное наслаждение». Мне кажется, что это прекрасное определение: оно показывает, что красота предмета подразумевает то или иное воздействие на зрителя. Составители словаря сходятся во мнениях с Вольтером, который в своем философском словаре писал: «Для вкуса недостаточно видеть или знать красоту шедевра: нужно почувствовать ее, нужно попасть под ее влияние». Математика прекрасно отражает личные предпочтения большинства ученых, с которыми я познакомился на протяжении своей карьеры (и, разумеется, мои собственные предпочтения): увлечение, любопытство и интерес, которые в нас пробуждает математика (значит ли это, что мы любим ее?), мы объясняем красотой, которую мы в ней видим, душевным наслаждением, которое мы испытываем, когда занимаемся математикой, эстетическим удовольствием, которое она вызывает в нас.

Восхищение, испытанное мной после знакомства с определением красоты, предложенным лингвистами, сменилось разочарованием, когда я дочитал словарную статью до конца: «Это свойство (красота) существует в природе и в произведениях искусства». Лингвисты совершили непростительную ошибку — они забыли причислить к сфере прекрасного научные работы. Нов этой книге мы не станем обходить их стороной!

Понятие «математика» я буду трактовать в очень широком смысле. Разумеется, в наше определение войдут математические идеи, понятия и рассуждения, а также их сочетания. Иногда мы будем использовать выражение «математические рассуждения» как синоним понятия «математика» в самом широком смысле, в других случаях будем иметь в виду более конкретные объекты — теоремы, определения, доказательства, целые теории и даже эвристические рассуждения, необязательно имеющие достаточное логическое обоснование.

В этой книге мы утверждаем, что математика обладает красотой. Мы принимаем это утверждение за недоказуемую истину со всеми поэтическими оттенками, которыми обладает любая недоказуемая истина. Тем не менее это не помешает нам обсудить некоторые вопросы. Вот первый вопрос, который вызывает это утверждение: если математика обладает красотой, то где она находится? Как ее найти?

Вместо развернутого теоретического обсуждения обратимся к конкретике. Лучше всего провести параллель с одним из видов искусства. Мы уже говорили в предисловии, что искусство дает множество примеров, но пусть читатель не забывает, что они могут быть довольно неожиданными.

Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота математики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Парфенона?

Строительство Парфенона на афинском Акрополе началось примерно в 447 году до н. э., спустя несколько десятилетий после того, как персы опустошили город и разрушили Акрополь до основания. Строительство Парфенона продолжалось почти десять лет, еще несколько лет ушло на завершение отделки под руководством скульптора Фидия. Из греческого храма Парфенон превратился в церковь, затем — в мечеть, а в XVII веке турки использовали его как пороховой склад. В1687 году храм серьезно пострадал при обстреле Афин венецианским флотом. В начале XIX века англичане демонтировали значительную часть скульптур и фризов, украшавших фронтоны здания, так как они якобы нуждались в реставрации. Эти украшения до сих пор находятся в Британском музее.