Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика
Шрифт:
Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?
Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное.
И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.
Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.
Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.
Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.
Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.
Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.
Доказательство Кантора
Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а1, a2, а3, …, где каждая цифра 0, а1, a2, а3, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).
В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод, который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4… и двоичной последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, которая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара, образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим следующие несколько пар.
Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так далее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единицами. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0, третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех предыдущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от второй — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя, что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность, для которой не найдется пары.
* * *
ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД КАНТОРА
Этот же диагональный метод наряду с понятием подмножества позволил Кантору показать, как можно построить бесконечные множества сколь угодно большого размера. Представьте множество А = {1,2,3}, образованное тремя числами 1, 2, 3. Множество подмножеств А получается, если рассмотреть все множества, которые мы можем составить из элементов А, в том числе пустое множество 0. Обозначив множество подмножеств А через Р(А), имеем:
Кантор доказал, что если множество А бесконечное, то бесконечность, соответствующая множеству подмножеств А, будет всегда больше, чем бесконечность, соответствующая исходному множеству. В своем доказательстве Кантор вновь применил диагональный метод, адаптировав его к этой задаче. Рассмотрим пары, образованные элементами множества А и множества его подмножеств Р(А). Каждый элемент х множества А будет иметь пару — множество X, составленное из элементов А. Теперь определим подмножество А, которое не будет иметь пары: это множество Y, содержащее те элементы х множества А, которые не принадлежат соответствующему множеству X.
В самом деле, если элемент х множества А принадлежит своей паре, множеству X, то, по определению Y, элемент х не принадлежит Y. Следовательно, X не = Y, так как х принадлежит X, но не Y. С другой стороны, если элемент х множества А не принадлежит своей паре Х, то, по определению Y, элемент х будет принадлежать Y. Вновь X не = Y, так как х принадлежит Y, но не X. Это доказывает, что никакой элемент х множества А не может иметь парой множество Y.
* * *
Абсолютная бесконечность и наследие Кантора
Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: словно на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно, не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со стороны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконечность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.
* * *
МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ И ДРУГИЕ ЧУДОВИЩА
Абсолютная бесконечность тесно связана с такими безграничными и невообразимыми понятиями, как, например, множество всех множеств или множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Последнее «чудовище» — главный герой парадокса, сформулированного Бертраном Расселом в 1901 году: принадлежит ли самому себе множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе? Если это множество принадлежит самому себе, то оно не будет образовано всеми множествами, которые не принадлежат сами себе. Если же оно не принадлежит самому себе, то, по определению, оно должно принадлежать самому себе.
Однако Кантор никогда не рассматривал подобные парадоксы, так как он всегда был убежден, что они не затрагивают множества и бесконечности, которые он изучал, — эти монструозные сущности, связанные с абсолютом, которые мы можем только распознать, но не познать.
Парадоксы, подобные описанным выше, возникли как результат наивного определения множества как произвольной совокупности объектов. Парадокс Рассела схож с еще одним парадоксом, опровергающим всемогущество Бога: может ли всемогущий Бог создать такой камень, который он сам не в силах будет поднять? Если он сможет создать такой камень, то не сможет поднять его и, следовательно, не будет всемогущим. Если же он не сможет создать такой камень, то вновь не будет всемогущим.