Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Виолант-и-Хольц Альберт

Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года — было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 2^43112609  — 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 2^43112608·(2^43112609 — 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 2^42643801 — 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 2^42643800·(2^42643801 — 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.

* * *

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ

В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида 

являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F₀ = 3 — простое число. Для n = 1 получим F₁ = 5 — тоже простое число. F₂ = 17, F₃ = 257 и F₄ = 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F₅ = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F₆ = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F₇ = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.

Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 2² стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 2³ сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З² равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА О ЖЕМЧУЖИНАХ

Мальба Тахан (этот псевдоним носил Жулио Сезар де Мелло и Соуза) в своей книге «Человек, который считал», изданной в 1949 году, предлагает очень красивую задачу. «Некий раджа оставил дочерям некоторое число жемчужин и повелел разделить их так: старшей дочери полагалась одна жемчужина и одна седьмая часть оставшихся, второй — две жемчужины и седьмая часть оставшихся, третьей — три жемчужины и одна седьмая часть оставшихся, и так далее для всех остальных дочерей. Младшие дочери обратились к судье, заявив, что этот способ совершенно несправедлив по отношению к ним. Судья славился умением решать задачи и быстро ответил, что просительницы ошибаются и что распределение, предложенное раджой, совершенно справедливо и честно. Судья был прав. После того как были поделены все жемчужины, оказалось, что каждой из дочерей досталось одинаковое число жемчужин. Сколько же было жемчужин и сколько дочерей было у раджи?»

Решение очень простое: жемчужин было 36, дочерей — 6. Первой дочери досталась одна жемчужина и одна седьмая от оставшихся 35, то есть 5. Получается, всего ей полагалось 6 жемчужин, осталось 30. Второй дочери досталось 2 жемчужины и седьмая часть от 28 оставшихся, то есть 4. Она получила 6 жемчужин, осталось 24. Третьей досталось 3 жемчужины и одна седьмая от 21 оставшейся, то есть еще 3, осталось 18. Четвертой досталось 4 из этих 18 и еще седьмая часть от 14, то есть 2. Следовательно, на ее долю также пришлось 6 жемчужин. Пятой дочери досталось 5 из оставшихся двенадцати и одна седьмая от 7 жемчужин, то есть 1, а всего 6. Младшей дочери достались 6 оставшихся жемчужин. Здесь красота задачи сочетается с красотой ее решения. Наследство в 36 драгоценных жемчужин досталось 6 прекрасным девушкам, 6 — совершенное число, а 36 — квадрат совершенного числа.

Графическое представление арабской задачи о жемчужинах

_{(источник: Мальба Тахан. Человек, который считал).}

* * *

«Арифметика» Диофанта

О жизни Диофанта практически ничего не известно. В точности неизвестны даже годы его жизни. Однако до нас дошли несколько дат. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла, давая определение фигурных чисел, следовательно, его труд был написан позднее 150 года до н. э. С другой стороны, Теон Александрийский, отец Гипатии, приводит в своих трудах одно из определений Диофанта, откуда следует, что «Арифметика» было написана до 350 года н. э. Следовательно, мы можем лишь утверждать, что даты рождения и смерти Диофанта находятся в границах этого периода длиной в 500 лет.

Точнее определить годы жизни Диофанта помогает письмо византийского автора XI века Михаила Пселла. В переводе с греческого письмо звучит так: «Диофант управлялся с ней (египетской арифметикой. — Примеч. автора) более умело, но образованный Анатолий объединил важнейшие части доктрины Диофанта, которую тот изложил разрозненно и сжато, и посвятил свой труд Диофанту». Пол Таннери опубликовал это письмо в одном из своих исследований и предположил, что Пселл ссылается на комментарий о Диофанте, источник которого был утерян. Возможно, он был написан Гипатией. Упоминаемый в письме Анатолий был епископом Лаодикеи, писателем и знатоком математики и жил в III веке н. э. Следовательно, можно предполагать, что Диофант написал «Арифметику» примерно в 250 году н. э. Однако не все исследователи согласны с этим переводом, поэтому предложенную дату нельзя считать окончательной.

Обложка книги «Арифметика» Диофанта, напечатанной в Базеле в 1575 году.

Как и в случае с Ферма, точный возраст Диофанта можно определить по его эпитафии. Она содержится в «Греческой антологии», составленной Метродором примерно в 500 году и. э. Одна задача из этого собрания посвящена автору «Арифметики»:

«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей».

(Перевод С.П. Боброва)

Если мы обозначим возраст Диофанта за х, то его детство длилось х/6 лет, он женился по прошествии х/7 лет, его борода росла х/12 лет. Его сын родился 5 лет спустя и прожил х/2 лет. Отец умер 4 года спустя после смерти сына. Получим:

х = х/6 + х/7 + х/12 + 5 + х/2 + 4.

Умножив обе части равенства на 84, получим:

84х = 84· х/6 + 84·х/7 + 84·х/12 + 84·5 + 84·х/2 + 84·4.

Упростим равенство:

84х = 14х + 12х + 7х + 420 + 42х + 336.

Перенеся все члены с х в одну часть, получим:

84х — 14х — 12х — 7х — 42х = 420 + 336.

Отсюда 9х = 776, следовательно, х = 156/9 = 84. Таким образом, Диофант женился в 26 лет, сын родился, когда ему было 38 лет. Сын прожил 42 года — в два раза меньше, чем отец. Однако нам неизвестно, является эта задача полностью вымышленной или же, напротив, она основана на реальных событиях жизни математика.

* * *

КНИГИ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА

«Арифметика» Диофанта состоит из 13 книг на греческом языке, из которых до нас дошли шесть. Кроме этого, в 1972 году обнаружилась арабская рукопись, включающая еще четыре книги, по содержанию не совпадающие с книгами, дошедшими до нас на греческом. В них описывается ряд задач по нахождению рациональных решений алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Шесть книг на греческом содержат 189 задач. Они распределяются так:

Книга I: приведены 25 задач для уравнений первой степени и 14 — для второй степени.

Книга II состоит из 35 задач. Задача под номером 8, несомненно, самая известная из всех, так как именно она навела Ферма на мысль о его теореме.

Книга III содержит 21 задачу. Наиболее известной является 19-я, в которой впервые применяется геометрический метод решения.

Книга IV содержит 40 задач, в большинстве из них речь идет о кубах чисел.

Книга V содержит 30 задач. В 28 из них идет речь об уравнениях второй и третьей степени. Последняя, 30-я задача — это задача о смесях.

Книга VI содержит 24 задачи. Они посвящены поиску прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.

Обложка одного из изданий «Арифметики» Диофанта, опубликованного в 1670 году сыном Ферма уже после смерти отца. В это издание были включены комментарии, сделанные знаменитым математиком.

* * *

Важность «Арифметики»

Важность работы Диофанта сложно переоценить. Предложенные им задачи бросают вызов гениальности и творчеству и воспевают красоту математики. Хотя Диофант не применял сложные алгебраические обозначения, он ввел в употребление некоторые символы. Так, он обозначал сокращениями неизвестную и степени неизвестной. Это позволило упростить запись уравнений. Он также использовал сокращение, обозначавшее равенство. Поэтому его работа стала важным шагом в переходе от словесной к символьной алгебре.