Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
В то время задачи, которые оставил миру Ферма, отчаянно пытались решить многие математики, с переменным успехом постепенно доказывавшие сформулированные им утверждения. Теорема, которой посвящена эта книга, упорно сопротивлялась всем попыткам решения, за что получила название последней теоремы Ферма. Академия, с целью простимулировать исследования по этой теме, в 1816 году учредила премию тому, кто приведет доказательство последней теоремы Ферма. Многие ученые работали над этой проблемой и убеждали коллег заняться тем же.
Первые двести лет
Генрих Вильгельм Маттеус Ольберс был врачом и астрономом и проводил многие часы за наблюдениями звездного неба. В 1802 году, за год до Джузеппе Пьяцци, он обнаружил карликовую планету Цереру в том самом месте, где предсказал Гаусс, но затем потерял ее из вида. В 1807 году Ольберс открыл второй астероид и уступил Гауссу право назвать его. Гаусс предложил имя Веста в честь римской богини домашнего очага. Веста — самый яркий из всего пояса астероидов.
Визит короля Людовика XIV в Парижскую академию наук в 1671 году. Гравюра Себастьяна Леклерка из книги «Мемуары по естественной истории животных».
Несколько миллиардов лет назад Веста потеряла 1 % массы вследствие удара, и множество осколков упали на Землю в виде метеоритов. Ольберс также размышлял над вопросом, почему ночное небо такое темное, несмотря на то что его освещает бесконечное множество звезд, от света которых должно быть светло как днем. Этот парадокс позднее получил название парадокса Ольберса. Когда он узнал о премии Парижской академии, то обратился к своему другу Карлу Фридриху Гауссу и предложил тому стать соискателем этой премии.
Немецкий астроном и врач Генрих Ольберс. Литография Рудольфа Зурландта.
21 марта 1816 года Гаусс ответил: «Признаюсь, что теорема Ферма сама по себе не представляет для меня большого интереса, так как я с легкостью могу сформулировать множество подобных теорем, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть». Несмотря на это, Гаусс тоже работал над решением, что следует из его личных записей, где приведены доказательства для n = 3 и n = 5. Неизвестно, пытался ли Гаусс доказать теорему до того, как Ольберс предложил ему заняться этой темой. Быть может, осознав трудность задачи, он предпочел отклонить приглашение и продолжить работу в одиночку, надеясь получить какой-то значимый результат, достойный публикации. Возможно, он действительно не уделил особого внимания этой задаче и предпочел обратиться к более интересным темам.
Несмотря на слова Гаусса, теорема не давала покоя великим математикам того времени, и они усердно занимались поисками доказательства. Теперь на кону стояла не только премия академии, но также известность и слава. Наступил срок подачи заявок, но доказательство не удалось найти никому! Неудивительно, что в академии совершенно не ожидали такого результата. До учреждения этой премии столь крупный ученый, как Эйлер, пытался найти доказательство, но ему удалось это сделать только для n = 3 примерно в 1760 году. Как уже говорилось в предыдущей главе, возможно, доказательство для этого случая нашел еще Ферма с помощью своего метода бесконечного спуска. Но теперь математическое сообщество могло бы спать спокойно, зная, что доказательство строго оформил и записал Эйлер. Было очевидно, что куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, но что можно сказать о бесконечном множестве всех остальных степеней?
Привлекательность теоремы в научном сообществе неуклонно росла. Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859) и француз Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1825 году независимо друг от друга нашли доказательство для n = 5. В 1832 году Дирихле сделал еще один шаг и доказал теорему Ферма для n = 14. В 1839 году французГабриель Ламе (1795–1870) вошел в историю, доказав теорему для n = 7. Восемь лет спустя он объявил, что ему удалось найти доказательство в общем виде, но он ошибался. Доказать теорему Ферма для нескольких частных случаев удавалось многим математикам. Учитывая, что простых показателей степени бесконечно много, получается, что доказательство теоремы должно было занять бесконечно много времени?
Портрет немецкого математика Иоганна Петера Густава Лежёна-Дирихле.
Неожиданное действующее лицо
Надежда на то, что несколько случаев можно объединить в рамках одного доказательства, появилась благодаря усилиям француженки Софи Жермен (1776–1831) — возможно, величайшей женщины-математика всех времен. В 1823 году она доказала, что если р и 2р + 1 —
Как уже говорилось в предыдущей главе, если бы теорему удалось доказать для всех показателей степени, являющихся простыми числами, то она была бы доказана для всех натуральных. Аналогично нетрудно видеть, что если целые решения х, у, z имеют общий множитель, то, поделив обе части на этот множитель, мы снова получим целое решение. Следовательно, доказательство теоремы для примитивных решений является ее общим доказательством для всех случаев. Начиная с работ Жермен стали различать два случая на множестве решений. Первый случай — ни х, ни у, ни z не делятся на р. Второй случай — либо х, либо у, либо z делится на р. Как говорил Лежандр, «одним росчерком пера» доказательство Жермен превращалось в доказательство теоремы Ферма для первого случая, то есть для огромного множества чисел. Для тех чисел, которых не хватало, чтобы доказать теорему для всех чисел меньше 100, доказательство привел сам Лежандр.
Письмо Софи Жермен математику Жозефу Луи Лагранжу. Благодаря этой французской женщине-математику в доказательстве последней теоремы Ферма был сделан большой шаг вперед.
* * *
РЕШЕНИЕ СОФИ
Софи Жермен родилась в Париже в 1776 году. Она была дочерью преуспевающего торговца шелком. В семье регулярно обсуждали политику и философию. В 13 лет Софи прочитала знаменитую историю о смерти Архимеда от рук римского солдата. Впечатленная девочка тоже решила стать математиком. В разгар французской революции родители держали ее взаперти почти восемь лет, чтобы защитить ее. Девушка воспользовалась случаем и начала изучать математику в родительской библиотеке. Софи днем и ночью украдкой читала книги Ньютона и Эйлера.
Решение Софи посвятить жизнь науке было совершенно неслыханным по тем временам. Но Софи твердо стояла на своем, и родным оставалось только смириться с ее выбором. В недавно основанную в Париже Политехническую школу, где преподавали ученые уровня Лагранжа, женщины не допускались. В 18 лет Софи выдала себя за бывшего ученика этой школы и друга ее семьи Антуана Огюста Леблана, чтобы обзавестись конспектами лекций. Под этим же псевдонимом она представила Лагранжу несколько своих работ. Потрясенный, он назначил ей встречу. Софи не оставалось другого выхода, кроме как раскрыть свое лицо, и Лагранж, очень удивившись, предложил ей заниматься у него, что, в свою очередь, позволило ей участвовать в научных собраниях.
Под тем же псевдонимом Жермен поддерживала переписку с Гауссом. Узнав настоящее имя Жермен, в 1806 году Гаусс пишет ей: «Вкус к абстрактным наукам и, прежде всего, к загадкам чисел сам по себе редок. <…> Но когда женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина… и преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она, несомненно, проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность». В 1811 году Жермен стала единственной участницей конкурса, который проводила академия наук с целью найти математические основы колебаний тонких пластинок. Ей отказывали дважды, и в 1816 году она наконец выиграла премию и стала первой женщиной, получившей право посещать заседания академии (не считая жен членов академии). В 1830 году Гёттингенский университет присуждает ей почетную степень, но через год Жермен умирает, так и не успев получить ее.
Софи Жермен.
* * *
Он показал, что если р — простое число, такое, что либо 4р + 1, либо 8р + 1, либо 10р + 1, либо 14р + 1, либо 16р + 1 — простое, то первый случай теоремы Ферма доказан для данного показателя степени р. Лишь в 1977 году Тержанян доказал первый случай для всех четных показателей степени 2р, где р — простое.