Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Виолант-и-Хольц Альберт

100 = 10·10 = 2·50.

Следовательно, на множестве простых чисел единственность разложения на множители не выполняется. Чтобы обеспечить это свойство, можно ввести «идеальное» число, 5, которое не принадлежит множеству четных чисел. Используя это число, мы сможем разложить на множители 10 и 50, и они перестанут быть «простыми»:

100 = 10·10 = 5·2·5·2,

100 = 2·50 = 2·2·5·5.

Оба разложения совпадают.

Во втором примере, который предложил Рихард Дедекинд в 1870 году, рассматривается множество чисел следующего вида:

На этом множестве числа 2, 3, (1 + (5i)), (1 — (5i))

являются простыми. Число 6 не является простым, и его можно разложить на простые множители двумя различными способами:

6 = 2·3 = (1 + (5i))(1 — (5i)).

Следовательно, единственность разложения на множители на этом множестве не обеспечивается. Мы сможем это обеспечить, если введем идеальные числа 2,(1 + (5i))/2, (1 — (5i))/2:

И вновь оба разложения совпадают.

Куммер интенсивно изучал это новое круговое поле и дополнял его все новыми идеальными числами. Ему удалось доказать, что для частного случая простых чисел, так называемых регулярных простых чисел, выполняются все рассуждения доказательства, значит, и последняя теорема Ферма доказана. Далее он занялся изучением регулярных простых чисел и доказал, что существует всего три нерегулярных простых числа, меньших 100: это 37, 59 и 67. Он также рассмотрел и эти случаи, доказав таким образом теорему для всех показателей степени, меньших 100.

Члены академии наук воодушевились этими успехами и решили закрыть тему: в 1850 году была снова предложена премия тому, кто окончательно докажет последнюю теорему Ферма в общем виде. Членами жюри были Огюстен Луи Коши, Жозеф Лиувилль, Габриель Ламе, Жозеф Луи Франсуа Бертран и Мишель Шаль. Прошли все сроки, и закончились все возможные отсрочки, и наконец Коши написал: «Секретариату было представлено одиннадцать записок. Но ни одна не содержит решения задачи. Тем не менее жюри отмечает, что работа под номером 2 содержит новое решение для частного случая, для которого привел доказательство сам Ферма, то есть для показателя степени, равного 4. Следовательно, несмотря на все усилия, вопрос не сдвинулся с точки, до которой дошел г-н Куммер. Тем не менее математическое сообщество с радостью встречает усилия геометров по решению этой задачи, особенно усилия господина Куммера.

Жюри считает, что академия примет достойное и уместное решение, если оставит в стороне вопрос о соревновательности и присудит медаль господину Куммеру за его потрясающие исследования целых комплексных чисел и комплексных чисел, образованных корнями единицы».

Таким образом, в 1857 году премия была присуждена Куммеру, который даже не участвовал в конкурсе! Так члены академии выразили ему глубокую признательность за его труд. Он внес масштабный вклад в науку, разработав многие идеи и концепции и создав новые обширные разделы математики: регулярные простые числа, теорию идеалов, круговые поля, классы идеалов кругового поля и многие другие.

Последняя теорема Ферма способствовала продвижению математики далеко вперед, но по-прежнему оставалась неприступной. После двухсот лет поисков баланс сил был таков. Первый случай был доказан для многих показателей степени, удовлетворявших условиям Жермен и Лежандра. Кроме этого, общий случай был доказан для четырех показателей степени n: 3, 4, 5 и 7. Но оставалось еще очень много недоказанных случаев. Последняя теорема, несмотря на все свое очарование, стала костью в горле для многих математиков.

Портрет немецкого математика Эрнста Эдуарда Куммера.

* * *

* * *

Вопрос рода

В 1908 году немецкий предприниматель и математик Пауль Вольфскель учредил приз в 100 000 немецких марок (что эквивалентно миллиону евро в наши дни) тому, кто сможет доказать теорему Ферма. Был установлен крайний срок подачи заявок, не подлежащий продлению, — 13 сентября 2007 года. Возможно, Вольфскель считал, что ста лет будет достаточно для доказательства теоремы, которой исследователи уже посвятили столько времени.

Очень многие математики прилагали огромные усилия, чтобы дополнить список показателей степени, для которых доказана теорема Ферма, как первый, так и общий случай. Иногда этого удавалось достичь за счет усовершенствования уже известных критериев или способов вычислений, в других случаях исследования велись в совершенно новых направлениях. В 1909 году Виферих доказал, что если существует решение для первого случая теоремы Ферма, то 2^{p– 1} — 1 должно быть кратно р². Фактически на тот момент не было известно ни одного простого числа, которое бы удовлетворяло этому условию. Лишь в 1913 году Мейснер нашел р = 1903, а в 1922 году Бигер обнаружил р = 3511. В 1910 году Мириманов дополнил результаты Вифериха и доказал, что если существует решение первого случая теоремы Ферма, то 3^{p– 1} — 1 также должно быть кратно р². Это позволило доказать теорему для р = 1903 и р = 3511. В 1971 году Бриллхарт, Тонашия и Вайнбергер с помощью компьютера проанализировали все простые числа до 3·10⁹ и не обнаружили ни одного другого числа, которое бы удовлетворяло условию Вифериха. Следовательно, они доказали теорему Ферма для всех показателей, не превышающих это значение. С годами число изученных простых чисел росло, и примерно к 1990 году первый случай теоремы Ферма был доказан для всех показателей, меньших 2327·10¹⁹.

* * *

ПЬЕРУ ФЕРМА ЗА ТО, ЧТО ОН СПАС МНЕ ЖИЗНЬ

Существует несколько гипотез относительно того, чем руководствовался Вольфскель, когда учредил свою премию. Он был молод, страдал рассеянным склерозом, и ему пришлось оставить медицину в пользу более спокойного занятия — математики. Некоторые источники утверждают, что он думал о самоубийстве из-за несчастной любви, но, прочитав подробное исследование о теореме Ферма, понял, что красота математики превыше красоты любой женщины. Поэтому Ферма в буквальном смысле спас ему жизнь. Другие источники приводят более прозаичный довод: учредив премию, Вольфскель уменьшил сумму наследства, которое полагалось бы его ветреной жене.

Немецкий математик Пауль Вольфскель.

* * *

Если говорить об общем случае, то работы Куммера дополнил Вандайвер. В 1929 году он сформулировал ряд критериев, которым должны соответствовать нерегулярные простые числа, чтобы удовлетворять последней теореме Ферма. В 1954 году тот же Вандайвер уже с помощью компьютеров проверил все показатели степени р < 2521. Двадцать лет спустя этот список был расширен вплоть до р < 4000000. Но посреди этой бесконечной гонки за более точными критериями и вычислениями математическое сообщество получило приятный сюрприз.