Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Виолант-и-Хольц Альберт

Его кончина не поколебала решимости Симуры, который хотел завершить общее дело в память о своем гениальном друге. В течение многих лет Симура уточнял гипотезу, которая в упрощенном виде гласит, что все эллиптические кривые являются модулярными. Со временем эта гипотеза стала известна под названием гипотезы Таниямы — Симуры. Как сказал американский математик Барри Мазур (о нем мы поговорим немного позже), это была «удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время. Когда она была представлена, никто не решился доказать ее, столь противоречивой она была. Она объединяет два мира: мир эллиптических кривых и мир модулярных форм. Эти разделы математики были очень подробно изучены, но по отдельности. И вдруг появилась гипотеза Таниямы — Симуры, которая навела на мысль о существовании связующего звена между этими двумя мирами. Математики любят наводить мосты…»

Танияма не дожил до того дня, когда его гениальная догадка оформилась в один из красивейших результатов современной

математики. Теперь имена Таниямы и его друга Симуры занимают почетное место в истории математики, и, что более удивительно, их работа заложила фундамент для доказательства самой знаменитой теоремы в теории чисел и математике в целом.

Эпсилон-гипотеза

В глазах математического сообщества гипотеза Таниямы — Симуры и последняя теорема Ферма не имели ничего общего, разве что обе они являлись гипотезами. Но, как мы уже заметили, поиск соотношения между на первый взгляд совершенно разными понятиями, никак не связанными между собой, — одна из главных задач математики. В данном конкретном случае неожиданные параллели обнаружил немецкий математик Герхард Фрай, который занимался теорией чисел. Его привлекала взаимосвязь между этой областью и алгебраической геометрией, и блестящим примером этому служила гипотеза Таниямы — Симуры. В 1978 году он ознакомился с работами американского математика Барри Мазура и был очень впечатлен ими. В них устанавливалась связь между такими понятиями, как модулярность и эллиптические кривые, и Фрай стал работать над тем, чтобы сделать эту взаимосвязь более явной (исходная статья Мазура по этой теме называлась «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна», и среди наиболее увлеченных ее читателей были Кен Рибет и Эндрю Уайлс). Фрай начал вынашивать удивительную идею, которую постарался окончательно оформить за те несколько недель, пока был в Гарварде, где преподавал Мазур. Наконец, в 1984 году на нескольких математических конференциях, прошедших в районе Обервольфах в Германии, Фрай сформулировал гипотезу, которая открыла новый, революционный путь к доказательству последней теоремы Ферма.

Его гипотеза звучала так: пусть дано произвольное решение уравнения этой теоремы, например, а^p + b^р = с^р. Тогда существует эллиптическая кривая вида у² = х(х — а^p)(х + b^p), где а, b и с — целые, положительные и взаимно простые, а р — простое число, большее 2. Эта кривая принадлежит к особой группе эллиптических кривых, названных позднее кривыми Фрая и обладающих очень интересной особенностью: они не являются модулярными. Но гипотеза Таниямы — Симуры утверждала, что все эллиптические кривые являются модулярными. Отсюда следует, что если гипотеза Таниямы — Симуры верна, то «отклонений», подобных кривым Фрая, то есть кривых, которые одновременно являются эллиптическими и немодулярными, не существует. Если же гипотеза Фрая была верна, учитывая, что все возможные решения уравнения теоремы Ферма представляли собой кривую Фрая, то гипотеза Таниямы — Симуры о несуществовании таких кривых означала бы, что уравнение теоремы не имеет решений, следовательно… теорема Ферма доказана! Как мы увидим чуть позже, эта неожиданная связь между гипотезами стала для Уайлса точкой опоры, на которой основывалось его доказательство.

Хотя идеи Фрая были очень привлекательными, было ясно, что его гипотеза все еще недостаточно конкретна, чтобы другие математики могли заняться ее доказательством. Для окончательного оформления предположения немецкого математика в виде гипотезы, требовались «математические мускулы». Говоря о «математических мускулах» в контексте математики последних 75 лет, невозможно обойти вниманием французского математика Жан-Пьера Серра (р. 1926). Он — один из всего двух математиков (второй — американец Джон Григгс Томпсон), которые были удостоены двух престижнейших премий по математике: Филдсовская премия была вручена Серру в 1954-м, а Абелевская — в 2003 году. Серр — самый молодой из лауреатов Филдсовской премии: он получил ее в возрасте 27 лет. Его достижение равносильно получению двух Нобелевских премий.

Французский математик Жан-Пьер Серр на церемонии вручения Абелевской премии 3 июня 2003 года

 _{(фотография предоставлена Институтом Абеля)}

Серр, который в 1955 году участвовал в семинаре, проводимом Таниямой и Симурой,

заинтересовался гипотезой Фрая и написал письмо своему коллеге и соотечественнику Жан-Франсуа Местру. Позднее он оформил это письмо в виде статьи. В этой статье он использовал формулировки, несколько отличающиеся от тех, которыми пользовался Фрай (заполнив пробелы с помощью так называемых модулярных представлений Галуа), и предположение Фрая официально стало считаться гипотезой. Если эта гипотеза, получившая название эпсилон-гипотезы, была верна, то между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма устанавливалась следующая взаимосвязь: если первая была верной, то вторая — ложной, и наоборот.

* * *

РУКА, КАЧАЮЩАЯ КОЛЫБЕЛЬ

Американец Барри Мазур (р. 1937) — одна из наиболее выдающихся фигур в теории чисел последних лет. Во многом благодаря его статье «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» на модулярность снова обратили внимание молодые математики, в частности, Фрай, Рибет и Уайлс. Мазур называл теорию чисел разделом математики, где «без всяких усилий появляется бесчисленное множество задач. Они, как цветы, приятно пахнут, но их шипы больно колют любого, кто пытается прикоснуться к ним».

ГЕРХАРД ФРАЙ, МАТЕМАТИК И КРИПТОАНАЛИТИК

Фрай родился в 1944 году в немецком округе Тюбинген. Он поступил в местный университет, где занимался физикой и математикой. Его специализацией была теория чисел. Среди его наиболее важных достижений, помимо эпсилон-гипотезы, — метод, известный как спуск Вейля, используемый для решения эллиптических кривых на конечных полях. Открытие этого метода положило конец одному из перспективных направлений криптографии.

* * *

От гипотезы к теореме

Привлекательность эпсилон-гипотезы была такова, что попытки доказать ее предпринимали все специалисты по теории чисел. Среди них был блестящий молодой математик из США Кеннет Рибет, еще в 1985 году получивший должность профессора в Калифорнийском университете в Беркли. Рибет учился у Мазура в Гарварде, где защитил докторскую диссертацию. Он, как и его учитель, был очарован тем, что между теорией чисел и алгебраической геометрией существует удивительная связь, которую в свое время открыл Куммер, и что эта связь может повлиять на способ доказательства теоремы Ферма. Рибет занялся доказательством эпсилон-гипотезы и наконец увидел свет в конце туннеля. Предоставим ему слово:

«Я был абсолютно поражен. Я вернулся домой, спотыкаясь, будто витая в облаках. Я сел и снова проверил все доказательство и увидел, что оно было верно, действительно верно. Я посетил конференцию (Международный конгресс математиков, который проводился в университете Беркли, Сан-Франциско, в 1986 году. — Примеч. автора), рассказал об этом немногим, и вскоре об этом узнали почти все. Ко мне подходили и спрашивали: „Вы правда доказали эпсилон-гипотезу?“ Я помедлил около минуты и вдруг сказал: „Да. Я доказал ее“».

Это простое, искреннее признание помогает понять, что может происходить в голове у математика, когда он находит посреди океана неведения крупицу истины, подлинной истины, ведь математик как никто другой стремится к истине в самом точном и абсолютном смысле этого слова. Сам Рибет позднее вспоминал, что когда был докторантом, то говорил о великой теореме Ферма, перефразируя Гаусса: «Это одна из тех задач, о которых нельзя сказать ничего полезного». В то время Рибет не подозревал, какую роль в ее доказательстве сыграет его работа всего через несколько лет. Эпсилон-гипотеза ушла в прошлое — на смену ей пришла теорема Рибета. Теперь к доказательству последней теоремы Ферма могли приступить математики последнего поколения.

И что теперь?

Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет последнюю теорему Ферма. Легко сказать, но трудно, очень и очень трудно сделать. В конце концов, с момента симпозиума, на котором Танияма представил первоначальный вариант гипотезы, прошло почти 40 лет, и до сих пор никто ни на шаг не смог приблизиться к ее доказательству. Подавляющее большинство специалистов по теории чисел считали, что эта гипотеза будет доказана лишь спустя много десятилетий. Вспомним слова Мазура: «Удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время». Значительные трудности представлял тот факт, что и модульных форм, и эллиптических кривых (связь между этими математическими объектами устанавливала гипотеза) бесконечно много. Тот, кто рискнул бы взяться за громадный труд по доказательству гипотезы Таниямы — Симуры, должен был бы решить не только основную задачу, но и множество более мелких, но столь же трудных. Малейшая ошибка могла свести на нет результаты многолетнего труда. Если сравнить теорему Ферма с математическим Эверестом, то можно сказать, что Танияма, Симура, Мазур, Фрай, Серр и Рибет нашли новый путь к вершине, ранее незаметный, но на этом пути беспрестанно бушевал сильнейший ветер.