Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
C
=
C
+
1
4
K
d
dt
E
,
(I)
или для случая постоянных C и K
u
=
CP
+
1
4
K
dP
dt
,
v
=
CQ
+
1
4
K
dQ
dt
,
w
=
CR
+
1
4
K
dR
dt
,
(I*)
612.
=
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
.
(J)
613. Поверхностная плотность электричества равна
=
lf
+
mg
+
nh
+
l'f'
+
m'g'
+
n'h'
,
(K)
где l, m, n - направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где составляющие смещения равны f, g, h, а l', m', n' - направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где эти составляющие равны f', g', h'.
614. Когда вся намагниченность среды индуцирована действующей на неё магнитной силой, мы можем написать уравнение индуцированной намагниченности в виде
B
=
H
,
(L)
где есть коэффициент магнитной проницаемости, который можно рассматривать либо как скалярную величину, либо как линейную векторную функцию, действующую на H, в соответствии с тем, изотропна среда или нет.
615. Для рассматриваемых нами величин эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако сейчас наша задача состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем.
Есть, однако, один очень важный результат, который мы можем получить, комбинируя уравнения (А) и (Е).
Если предположить, что в поле не существует никаких магнитов, кроме электрических контуров, то исчезнет различие между магнитной силой и магнитной индукцией, которое мы сохраняли до сих пор, потому что только в намагниченном веществе эти величины отличаются одна от другой.
Согласно гипотезе Ампера, которая будет пояснена в п. 833, свойства того, что мы называем намагниченным веществом, обусловлены молекулярными электрическими контурами, так что наша теория намагничивания применима только тогда, когда мы рассматриваем вещество в больших массах; если же считать, что наши математические методы могут учитывать также и явления, происходящие в пределах отдельных молекул, то они не откроют нам там ничего, кроме электрических контуров, и мы найдём, что магнитная сила и магнитная индукция повсюду совпадают. Однако для того, чтобы иметь возможность по своему желанию использовать либо электрическую, либо электромагнитную систему измерений,
616. Составляющие магнитной индукции, согласно уравнениям (А) п. 591, равны
a
=
dH
dy
–
dG
dz
,
b
=
dF
dz
–
dH
dx
,
c
=
dG
dx
–
dF
dy
.
Составляющие электрического тока, согласно уравнениям (Е) п. 607, равны
4u
=
d
dy
–
d
dz
,
4v
=
d
dz
–
d
dx
,
4w
=
d
dx
–
d
dy
.
Согласно нашей гипотезе, составляющие a, b, c равны соответственно , и . Поэтому мы получаем (при постоянном )
4u
–
d^2G
dxdy
–
d^2F
dy
–
d^2F
dz
+
d^2H
dxdy
.
(1)
Если записать
J
=
dF
dx
+
dG
dy
+
dH
dz
,
(2)
и1
^2
=
–
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
+
d^2
dz^2
,
(3)
1 Отрицательный знак применяется здесь для того, чтобы сделать наши уравнения согласованными с уравнениями, в которых используются Кватернионы.
то мы можем написать уравнение (1):
4u
=
dJ
dx
+
^2F
.
Аналогично
4v
=
dJ
dy
+
^2G
,
4w
=
dJ
dz
+
^2H
.
(4)
Обозначим
F'
=
u
r
dx
dy
dz
,
G'
=
v
r
dx
dy
dz
,
H'
=
w
r
dx
dy
dz
,
(5)
=
1
4
J
r
dx
dy
dz
,
(6)
где r - расстояние до данной точки от элемента (x,y,z), а интегрирование распространяется на всё пространство; тогда
F
=
F'
–
d