Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

648. Выберем за начало отсчёта на поверхности некоторую фиксированную точку A и проведём на поверхности линию из точки A в другую точку P. Обозначим через количество электричества, пересекающее эту линию слева направо в единицу времени. Величина называется функцией тока в точке P.

Функция тока зависит только от положения точки P; она одинакова для любых двух линий AP произвольной формы при условии, что эти линии могут быть преобразованы одна в другую путём непрерывного перемещения, при котором не пересекаются электроды. Действительно, если две линии охватывают площадь, не содержащую электродов, то количество электричества, которое

входит внутрь этой площади через одну из линий, должно выйти через другую линию.

Пусть s обозначает длину линии AP; тогда ток, протекающий через ds слева направо, будет равен (d/ds)ds.

Постоянство на какой-либо кривой означает отсутствие тока, протекающего через эту кривую. Поэтому её называют Линией Тока, или Линией Потока.

649. Пусть есть электрический потенциал в некоторой точке листа; тогда электродвижущая сила вдоль элемента ds некоторой кривой будет равна -(d/ds)ds при условии, что нет никаких других электродвижущих сил, кроме той, которая обусловлена разностью потенциалов.

Если вдоль некоторой кривой величина постоянна, то эту кривую называют Эквипотенциальной Линией.

650. Мы можем теперь предположить, что положение точки на листе определяется значениями и в этой точке. Пусть ds₁– длина элемента эквипотенциальной линии , заключённого между двумя линиями тока и +d а ds₂– длина элемента токовой линии , заключённого между двумя эквипотенциальными линиями и +d. Мы можем рассматривать ds₁ и ds₂ как стороны элемента листа dd. Электродвижущая сила -d в направлении ds₂ создаёт ток d, пересекающий ds₁.

Пусть сопротивление участка листа длиной ds₂ и шириной ds₁ равно (ds₂/ds₁), где - удельное сопротивление листа на единицу площади; тогда

d

=

ds₂

ds₁

d

,

откуда

ds₁

d

=

ds₂

d

.

651. Если лист состоит из вещества, одинаково хорошо проводящего во всех направлениях, то элемент ds₁ перпендикулярен ds₂. В случае листа с однородной проводимостью величина постоянна, и, положив =', мы будем иметь

s₁

s₂

=

'

 ,

линии потока и эквипотенциальные линии рассекают поверхность на маленькие квадратики.

Отсюда следует, что если ₁ и ₁' являются функциями, сопряжёнными и ' (п. 183), то кривые ₁' могут быть линиями потока на том листе, где кривые являются соответствующими эквипотенциальными линиями. Один случай - это, конечно, тот, в котором ₁=', а ₁'=-. В этом случае эквипотенциальные линии становятся линиями тока, а линии тока - эквипотенциальными линиями ¹.

¹ См. Thomson, Camb. Math. Journ., vol. III, p. 286.

Получив решение для распределения электрических токов в однородном листе произвольной формы для любого частного случая, мы можем вывести распределение токов для любого другого случая при помощи надлежащего преобразования сопряжённых функций в соответствии с методом, описанным в п. 190.

652. Далее мы должны определить магнитное действие токового листа, у которого ток целиком сосредоточен на самом листе, т.е. отсутствуют электроды, подводящие и отводящие ток.

В этом случае функция тока имеет в каждой точке определённое значение, а линии потока являются замкнутыми и не пересекают друг друга, хотя какая-то одна линия потока может иметь самопересечение.

Рассмотрим кольцевой участок листа, расположенный между линиями потока и +. Эта часть листа представляет собой проводящий контур, в котором ток силою циркулирует в положительном направлении вокруг участка листа, где величина больше данного значения. Магнитное действие этого контура совпадает с действием магнитной оболочки, имеющей мощность в любой точке, за исключением точек внутри вещества оболочки. Предположим, что оболочка совпадает с той частью токового листа, на которой значение больше, чем на заданной линии потока.

Нанося последовательно все линии потока, начиная с той, для которой значение максимально, и кончая линией с наименьшим значением , мы разделим токовый лист на семейство контуров. Заменяя каждый из них соответствующей ему магнитной оболочкой, мы находим, что магнитное действие токового листа в любой точке, не находящейся в толще листа, такое же, как действие сложной магнитной оболочки, мощность которой в любой точке равна C+, где C - некоторая константа.

Если токовый лист ограничен, мы должны положить на граничной кривой C+=0. Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то для определения постоянной C нет никаких данных.

653. Магнитный потенциал в произвольной точке на любой из сторон токового листа даётся, согласно п. 415, выражением

=

1

r^2

cos

dS

.

где r - есть расстояние до данной точки от элемента поверхности dS, а - угол между направлением r и направлением нормали, проведённой с положительной стороны dS.

Это выражение даёт магнитный потенциал во всех точках, не входящих в толщу листа, а мы знаем, что для точек внутри проводника, несущего ток, такого понятия, как магнитный потенциал, не существует.

Величина разрывна на токовом листе, ибо если ₁ есть её значение в некоторой точке непосредственно внутри токового листа, а ₂– её значение в точке, близкой к первой, но расположенной вне токового листа, то ₂=₁=4, где есть функция тока в этой точке листа.

Значение составляющей магнитной силы, нормальной к листу, является непрерывным, т.е. одинаковым на обеих сторонах листа. Составляющая магнитной силы, параллельная линиям тока, тоже непрерывна, но тангенциальная составляющая, перпендикулярная линиям тока на листе, разрывна. Если s -длина некоторой проведённой на листе кривой, то составляющая магнитной силы в направлении ds на отрицательной стороне листа равна -(d/ds), а на положительной стороне