Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Для того чтобы получить уравнения движения среды, мы должны выразить её кинетическую энергию через скорость её частей, составляющими которой являются , , . Таким образом, мы интегрируем по частям и находим
2C
(++)
dx
dy
dz
=
C
(+)
dy
dz
+
+
C
(+)
dz
dx
+
C
(-)
dx
dy
+
+
2C
d
dy
–
d
dz
+
d
dz
–
d
dx
+
+
d
dx
–
d
dy
dx
dy
dz
.
(4)
Двойные
825. Часть кинетической энергии в единице объёма, выражаемая этим тройным интегралом, может быть записана в виде
4C
(u+v+w)
,
(5)
где u, v, w являются составляющими электрического тока в том виде, как они даны в уравнениях (Е) п. 607.
Из этого следует, что наша гипотеза эквивалентна предположению о том, что скорость частицы среды с составляющими u, v, w является величиной, которая может входить в комбинации с электрическим током, составляющие которого u, v, w.
826. Если вернуться к выражению под знаком тройного интеграла в (4), подставив вместо значений , , значения ', ', ', данные уравнениями (1), и записать
d
dh
вместо
d
dx
+
d
dy
+
d
dz
,
(6)
то выражение под знаком интеграла станет таким:
C
d
dh
d
dy
–
d
dz
+
d
dh
d
dz
–
d
dx
+
+
d
dh
d
dx
–
d
dy
.
(7)
В случае волн в плоскости, нормальной к оси z, смещения являются функциями только z и t, так что d/dh= d/dz, и это выражение сводится к следующему:
C
d^2
dz^2
–
d^2
dz^2
.
(8)
Кинетическая энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде
T
=
1
2
(^2+^2+^2)
+
C
d^2
dz^2
–
d^2
dz^2
,
(9)
где - плотность среды.
827. Составляющие X и Y приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по x, можно показать, что
d^2
dz^2
dx
dy
dz
=
d^3
dz^2dt
dx
dy
dz
.
Следовательно,
dT
d
C
d^3
dz^2dt
.
Таким образом, выражения для сил следующие:
X
=
d^2
dt^2
–
2C
d^3
dz^2dt
,
(10)
Y
=
d^2
dt^2
+
2C
d^3
dz^2dt
.
(11)
Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:
X
=
A
d^2
dz^2
+
A
d
dz
+ и т.д.,
(12)
Y
=
A
d^2
dz^2
+
A
d
dz
+ и т.д.
.
(13)
828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого
=
r cos(nt-qt)
,
=
r sin(nt-qt)
,
(14)
мы найдём для кинетической энергии в единице объёма
T
=
1
2
r^2
n^2
–
C
r^2
q^2
n
(15)
и для потенциальной энергии в единице объёма
V
=
1
2
r^2
(
Aq^2
+
Aq
+…
)
=
1
2
Q
,
(16)