Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Для того чтобы получить уравнения движения среды, мы должны выразить её кинетическую энергию через скорость её частей, составляющими которой являются , , . Таким образом, мы интегрируем по частям и находим

2C

(++)

dx

dy

dz

=

C

(+)

dy

dz

+

+

C

(+)

dz

dx

+

C

(-)

dx

dy

+

+

2C

d

dy

–

d

dz

+

d

dz

–

d

dx

+

+

d

dx

–

d

dy

dx

dy

dz

.

(4)

Двойные

интегралы относятся к ограничивающей поверхности, которую можно предполагать расположенной на бесконечном расстоянии. Поэтому мы можем при исследовании того, что имеет место внутри среды, ограничиться рассмотрением тройного интеграла.

825. Часть кинетической энергии в единице объёма, выражаемая этим тройным интегралом, может быть записана в виде

4C

(u+v+w)

,

(5)

где u, v, w являются составляющими электрического тока в том виде, как они даны в уравнениях (Е) п. 607.

Из этого следует, что наша гипотеза эквивалентна предположению о том, что скорость частицы среды с составляющими u, v, w является величиной, которая может входить в комбинации с электрическим током, составляющие которого u, v, w.

826. Если вернуться к выражению под знаком тройного интеграла в (4), подставив вместо значений , , значения ', ', ', данные уравнениями (1), и записать

d

dh

вместо

d

dx

+

d

dy

+

d

dz

,

(6)

то выражение под знаком интеграла станет таким:

C

d

dh

d

dy

–

d

dz

+

d

dh

d

dz

–

d

dx

+

+

d

dh

d

dx

–

d

dy

.

(7)

В случае волн в плоскости, нормальной к оси z, смещения являются функциями только z и t, так что d/dh= d/dz, и это выражение сводится к следующему:

C

d^2

dz^2

–

d^2

dz^2

.

(8)

Кинетическая

энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде

T

=

1

2

(^2+^2+^2)

+

C

d^2

dz^2

–

d^2

dz^2

,

(9)

где - плотность среды.

827. Составляющие X и Y приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по x, можно показать, что

d^2

dz^2

dx

dy

dz

=

d^3

dz^2dt

dx

dy

dz

.

Следовательно,

dT

d

C

d^3

dz^2dt

.

Таким образом, выражения для сил следующие:

X

=

d^2

dt^2

–

2C

d^3

dz^2dt

,

(10)

Y

=

d^2

dt^2

+

2C

d^3

dz^2dt

.

(11)

Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:

X

=

A

d^2

dz^2

+

A

d

dz

+ и т.д.,

(12)

Y

=

A

d^2

dz^2

+

A

d

dz

+ и т.д.

.

(13)

828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого

=

r cos(nt-qt)

,

=

r sin(nt-qt)

,

(14)

мы найдём для кинетической энергии в единице объёма

T

=

1

2

r^2

n^2

–

C

r^2

q^2

n

(15)

и для потенциальной энергии в единице объёма

V

=

1

2

r^2

(

Aq^2

+

Aq

+…

)

=

1

2

Q

,

(16)