Чтение онлайн

на главную

Жанры

Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:

ds

1

ds

2

ds

3

=

D1^2D2^2D3^2

c^3

d

d

d

,

и если - объёмная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдём, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным на 4 количеством электричества на нём равен нулю, т. е., деля на d d d,

d^2V

d^2

D

1

^2

+

d^2V

d^2

D

2

^2

+

d^2V

d^2

D

3

^2

+

4

D1^2D2^2D3^2

c^3

=

0.

(11)

Уравнение (11)

представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсоидальных координатах.

При =0 четвёртый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа.

Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдёт в упомянутой выше работе Ламе.

149. Чтобы определить величины , , , мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы , и , где

1

=

b sin

,

(12)

2

=

c^2sin+b^2sin

,

(13)

3

=

b sec

.

(14)

Если положить b=kc и k^2+k'^2=1, то k и k' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим

=

0

d

1-k^2sin^2 

(15)

– эллиптический интеграл первого рода, для которого можно воспользоваться обычным обозначением F(k,).

Таким же образом найдём, что

=

0

d

1-k'^2cos^2 

=

F(k')

F(k',)

,

(16)

где F(k') - полная функция для модуля k', а

=

0

d

1-k^2cos^2 

=

F(k)

F(k,)

.

(17)

Здесь представлено как функция угла , который, в свою очередь, является функцией от 1, - функция от и, следовательно, от 2, а - функция от и, следовательно, от 3.

Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от , , . Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу.

Легко видеть, что, поскольку параметры - периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от , , . Периоды 1 и 3 равны 4F(k), а период 2 равен 2F(k').

Частные решения

150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если V является линейной функцией от , , . Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними.

Двухполостный гиперболоид

Постоянное соответствует двух полостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности имеет тот же знак, что и x. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист.

Пусть 1 и 2– значения , соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть V1 и V2– значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить

V

=

1V22V1+(V1– V2)

12

,

(18)

то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объёме за поверхностью 1 положить V постоянным и равным V1, а в объёме за поверхностью 2 положить V постоянным и равным V2, то мы получим полное решение для этого частного случая.

Результирующая сила в любой точке обоих листов равна

±R

1

=

dV

ds1

=

dV

d

d

ds1

,

(19)

или

R

1

=

V1– V2

12

c

D2D3

.

(20)

Если p1перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а P1– произведение полуосей поверхности, то p1D2D3=P1 Отсюда следует, что

R

1

=

V1– V2

12

cp1

P1

,

(21)

т.е. сила в любой точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости.

Поделиться:
Популярные книги

Идеальный мир для Лекаря

Сапфир Олег
1. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря

Великий князь

Кулаков Алексей Иванович
2. Рюрикова кровь
Фантастика:
альтернативная история
8.47
рейтинг книги
Великий князь

Убийца

Бубела Олег Николаевич
3. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.26
рейтинг книги
Убийца

В теле пацана 6

Павлов Игорь Васильевич
6. Великое плато Вита
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
В теле пацана 6

Третий. Том 3

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Третий. Том 3

Курсант: назад в СССР 2

Дамиров Рафаэль
2. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.33
рейтинг книги
Курсант: назад в СССР 2

Курсант: Назад в СССР 10

Дамиров Рафаэль
10. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Курсант: Назад в СССР 10

Мастер 2

Чащин Валерий
2. Мастер
Фантастика:
фэнтези
городское фэнтези
попаданцы
технофэнтези
4.50
рейтинг книги
Мастер 2

Черный Маг Императора 6

Герда Александр
6. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
7.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 6

Я – Орк. Том 3

Лисицин Евгений
3. Я — Орк
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Я – Орк. Том 3

Сила рода. Том 3

Вяч Павел
2. Претендент
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
6.17
рейтинг книги
Сила рода. Том 3

Без Чести

Щукин Иван
4. Жизни Архимага
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Без Чести

Опер. Девочка на спор

Бигси Анна
5. Опасная работа
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
5.00
рейтинг книги
Опер. Девочка на спор

Провинциал. Книга 4

Лопарев Игорь Викторович
4. Провинциал
Фантастика:
космическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Провинциал. Книга 4