Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
(ch )^2
–
y^2
(sh )^2
=
b^2
.
(48)
Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.
Конфокальные параболоиды
154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси x, находящуюся на расстоянии t от центра системы, и подставить вместо x, , a и b соответственно величины t+x, t+, t+a и t+b а затем неограниченно увеличивать t, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках x=b и x=c
4(x-)
+
y^2
– b
+
z^2
– c
=
0.
(49)
Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через , для системы гиперболических параболоидов - через и для второй системы эллиптических параболоидов - через , то , b, , c, будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения
x
=
++-c-b
,
y^2
=
4
(b-)(-b)(-b)
c-b
z^2
=
4
(c-)(c-)(-c)
c-b
(50)
Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (7) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.
В этом случае полагают
=
b
d
(b-)(c-)
,
=
b
d
(-b)(c-)
,
=
c
d
(-b)(-c)
,
откуда
=
1/2 [
(c+b)
–
(c+b)
ch
],
=
1/2 [
(c+b)
–
(c+b)
cos
],
=
1/2 [
(c+b)
+
(c+b)
ch
];
(51)
x
=
1/2 (c+b)
+
1/2 (c-b)(ch -cos -ch )
y
=
2(c-b)
+
sh
2
sin
2
ch
2
,
z
=
2(c-b)
+
ch
2
cos
2
sh
2
,
(52)
При b=c мы имеем случай параболоидов вращения вокруг оси x и
x
=
a(e
2
– e
2
)
,
y
=
2ae
+
cos
,
z
=
2ae
+
sin
.
(53)
Поверхности, для которых постоянно представляют собой плоскости, проходящие через ось, а - угол, образуемый такой плоскостью с некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось.
Поверхности, для которых постоянно , представляют собой конфокальные параболоиды. При =- параболоид вырождается в прямую, заканчивающуюся в начале координат.
Значения , , можно выразить через r, , - сферические Полярные координаты с началом координат в фокусе и осью , совпадающей с осью параболоидов:
=
ln(r
1/2
cos 1/2 )
,
=
,
=
ln(r
1/2
sin 1/2 )
.
(54)
Случай, когда потенциал равен , можно сравнить с пространственной зональной гармоникой riPi. Оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и являются однородными функциями от x, y, z, но в случае параболоида на оси имеется разрыв, так как изменяется при замене на +2.
Поверхностная плотность заряда на заряженном параболоиде в безграничном поле (в том числе на полубесконечной прямой) обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от фокуса, или, в случае прямой, расстояния от её конца.
ГЛАВА XI
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ИНВЕРСИЯ
155. Мы уже показали, что для проводящей сферы, находящейся под действием заданного распределения заряда, можно найти распределение заряда на её поверхности методом сферических гармоник.
Для этого нужно разложить потенциал воздействующей системы в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с центром вначале координат, после чего находится соответствующий ряд пространственных гармоник отрицательной степени, описывающий потенциал, обусловленный распределением электричества на сфере.
С помощью этого весьма мощного метода анализа Пуассон нашёл распределение электричества на сфере под влиянием заданной электрической системы и решил даже более сложную задачу нахождения распределения электричества на двух проводящих сферах, влияющих друг на друга. Эти исследования были существенно продолжены Плана и другими, подтвердившими точность расчётов Пуассона.
Применяя этот метод к наиболее простому случаю сферы, находящейся под действием единичного точечного заряда, мы должны разложить потенциал точечного заряда в ряд по пространственным гармоникам и найти второй ряд пространственных гармоник, описывающий потенциал вне сферы, создаваемый электризацией сферы.
По-видимому, никто из этих математиков не обнаружил, что этот второй ряд даёт выражение для потенциала, создаваемого некоторым воображаемым точечным зарядом, который не существует физически как точечный заряд, но может быть назван электрическим изображением, потому что во внешних точках действие поверхности совпадает с действием, которое производил бы воображаемый точечный заряд, если бы эта поверхность была удалена.