Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Пусть r - расстояние произвольной точки A от центра, r' - расстояние его изображения A' от центра, e - электризация точки A, e' -электризация точки A'; L, S, K - элементы длины, поверхности и объёма у точки A; L', S', K' - их изображения у точки A'; , , , ', ', ', - соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, V - потенциал в точке A, создаваемый исходной системой, а V' - потенциал в точке A', создаваемый инверсной системой. Тогда
r'
p
=
L'
L
=
R2
r2
=
r'2
R2
,
S'
S
=
R4
r4
=
r'4
R4
,
K'
K
=
R6
r6
=
r'6
R6
,
e'
e
=
R
r
=
r'
R
,
'
=
r
R
=
R
r'
,
'
=
r3
R3
=
R3
r'3
,
'
=
r5
R5
=
R5
r'5
,
V'
V
=
r
R
=
R
r'
.
(18)
1
1
Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен P то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал PR/r'. Но если поместить в центре инверсии O количество электричества - PR, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.
Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала P, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -PR, помещённого в центр инверсии.
163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.
Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.
Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через a и a', их радиусы - через и ' и определить показатель (power) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен a^2-^2, а для второй - a'^2-'^2. При этом
a'
a
=
'
=
R^2
a^2-^2
=
a'^2-'^2
R^2
,
(19)
т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.
Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.
В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.
Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.
Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.
Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.
Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.
164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.
Если точечный заряд находится в точке A то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса a центр которой находится на расстоянии f от точки A, инвертированной фигурой будет сфера радиуса a' с центром на расстоянии f', где
a'
a
=
f'
f
=
R^2
f^2-a^2
.
(20)
Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для A относительно другой сферы, т. е. если C - центр, а B - инверсная точка первой сферы, то C' - инверсная точка, а B' - центр второй сферы.
Пусть теперь e - количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью
'
=
e'
4a'^2
.
(21)
Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда e', помещённого в центре сферы B'.
На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине
P'