Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Пусть
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OP
=
r
,
BP
=
p
,
AD
=
,
BD
=
,
AB
=
^2+^2
.
Произведём инверсию системы по отношению к сфере единичного радиуса с центром в точке O.
Обе сферы останутся сферами, пересекающимися под прямым углом, с центрами, расположенными на тех же радиусах, что A и B.
Если обозначить величины,
A'
=
A
A^2-^2
,
B'
=
B
B^2-^2
,
'
=
A^2-^2
,
'
=
B^2-^2
,
r'
=
1
r
,
p'^2
=
^2r^2+(b^2-^2)(p^2-^2)
r^2(b^2-^2)^2
.
Если в инвертированной системе потенциал поверхности равен единице, то плотность заряда в точке P' равна
'
=
1
4'
1
–
'
p'
^3
.
Если в первоначальной системе плотность в точке P равна , то (/')=(1/r^3), а потенциал равен 1/r. При помещении в точку O отрицательного единичного электрического заряда потенциал обращается в нуль на первоначальной поверхности, а плотность в точке P становится равной
=
1
4
a^2-^2
r^3
1
–
^3r^3
(^2r^2+(b^2-^2)(p^2-^2))3/2
Это выражение даёт распределение электричества на одном из сферических сегментов под воздействием заряда в точке O. Распределение электричества на другом сферическом сегменте может быть найдено перестановкой a и b, и и заменой p на q или AQ
Для нахождения полного заряда, наводимого на проводнике точечным зарядом O, рассмотрим инвертированную систему.
В инвертированной системе мы имеем заряд ' в A', ' в B' и отрицательный заряд ''/^2+^2 в точке C', расположенной на прямой A'B' так, что
A'C'
:
C'B'
=
'^2
:
'^2
.
Если OA'=a', OB'=b', OC'=c', то
c'^2
=
a'^2'^2+b'^2'^2-'^2'^2
'^2+'^2
.
Инвертируя эту систему, получим
'
a'
=
a
,
'
b'
=
b
,
и
–
''
'^2+'^2
1
c'
=
–
^2^2+b^2^2-^2^2
.
Следовательно, полный заряд на проводнике, обусловленный единичным отрицательным зарядом в O равен
'
a'
+
b
–
^2^2+b^2^2-^2^2
.
Распределение электричества на трёх сферических поверхностях, пересекающихся под прямыми углами
169. Пусть радиусы этих сфер равны , и Тогда
BC
=
^2+^2
,
CA
=
^2+^2
,
AB
=
^2+^2
.
Рис. 13
Пусть P, Q, R на рис. 13 - основания перпендикуляров, опущенных из A, B, C, на противоположные стороны треугольника, а O - пересечение этих перпендикуляров. Тогда P является изображением B в сфере , а также изображением C в сфере . Точка O также является изображением P в сфере .
Пусть в точки A, B и C помещены заряды , и .
Тогда заряд, который необходимо поместить в точку P будет равен
–
^2+^2
=
–
1
.
1
+
1
1/2
^2
^2
Но
AP
=
^2^2+^2^2+^2^2
^2+^2
,
так что заряд в точке O рассматриваемой как изображение точки P, равен
^2^2+^2^2+^2^2
=
1
,
1
+
1
+
1
1/2
^2
^2
^2
Таким же путём можно найти систему изображений, электрически эквивалентных четырём сферическим поверхностям, находящимся под единичным потенциалом и пересекающимся под прямыми углами.
Если радиус четвёртой сферы равен , то, поместив в центр этой сферы заряд , получим заряд на пересечении линии центров любых двух сфер, скажем и , с их плоскостью пересечения, равный
–
1
.
1
+
1
1/2
^2
^2
Заряд на пересечении плоскости любых трёх центров ABC с перпендикуляром из центра D равен
+
1
,
1
+
1
+
1
1/2
^2
^2
^2
а заряд на пересечении четырёх перпендикуляров равен
–