Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
c
–
a^2b^2
c(c^2-a^2-b^2)
–
a^3b^3
c(c^2-a^2-b^2+ab)(c^2-a^2-b^2-ab)
– …
q
bb
=
b
+
ab^2
c^2-a^2
+
a^2b^3
(c^2-a^2+bc)(c^2-a^2-bc)
+…
174. Для определения зарядов Ea и Eb двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов Va и Vb, мы имеем следующие уравнения:
E
a
=
V
a
q
aa
+
V
b
q
bb
,
E
b
=
V
a
q
ab
+
V
b
q
bb
Если
q
aa
q
bb
–
q
ab
^2
=
D
=
1
D'
,
и
p
aa
=
q
bb
D'
,
p
ab
=
–
q
ab
D'
,
p
bb
=
q
aa
D'
,
так что
p
aa
p
bb
–
p
ab
^2
=
D'
,
то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид
V
a
=
p
aa
E
a
+
p
ab
E
b
,
V
b
=
p
ab
E
a
+
p
bb
E
b
.
где paa, pab и pbb– коэффициенты потенциала.
Полная энергия системы равна, согласно п. 85,
Q
=
1/2 (
E
a
V
a
+
E
b
V
b
)
=
1/2 (
V
a
^2
q
aa
+2
V
a
V
b
q
ab
+
V
b
^2
q
bb
)
=
1/2 (
E
a
^2
p
aa
+2
E
a
E
b
p
ab
+
E
b
^2
p
bb
)
Сила
F
=
1/2
V
a
^2
dqaa
dc
+2
V
a
V
b
dqab
dc
+
V
b
^2
dqbb
dc
=
–
1/2
E
a
^2
dpaa
dc
+2
E
a
E
b
dpab
dc
+
E
b
^2
dpbb
dc
,
где c - расстояние между центрами сфер.
Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.
Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты q по c. Эти коэффициенты выражены как функции от k , , , причём при дифференцировании следует считать a и b постоянными. Из уравнений
k
=
– a sh
=
b sh
=
– c
sh ·sh
sh
находим
dk
dc
=-
ch ·ch
sh
,
d
dc
=
sh ·sh
k sh
,
d
dc
=
ch ·sh
k sh
,
d
dc
=
1
k
,
откуда
dqaa
dc
=
ch ·ch
sh
·
qaa
k
–
s=
s=0
(sc+b ch ) ch(s-)
c(sh (s-))^2
,
dqab
dc
=
ch ·ch
sh
·
qab
k
+
s=
s=1
s ch s
(sh s)^2
,
dqbb
dc
=
ch ·ch
sh
·
qbb
k
–