Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dy^2
=
0.
Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована следующим образом.
Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми C1, C2 и т. д. Найти вид такой функции V, которая на этих границах принимает соответственно значения V1, V2 и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно
Этот метод основан на свойствах сопряжённых функций двух переменных.
Определение сопряжённых функций
183. Величины и называются сопряжёнными функциями от x и y, если +-1 является функцией от x+-1y.
Из этого определения следует, что
d
dx
=
d
dy
и
d
dy
+
d
dx
=
0,
(1)
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
=
0,
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
=
0.
(2)
Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того,
d
dx
d
dy
–
d
dy
d
dx
=
d
dx
^2
+
d
dy
^2
=
d
dx
^2
+
d
dy
^2
=
R^2.
(3)
Если x и y -прямоугольные координаты, ds1– отрезок кривой (=const) между кривыми и (+d) , a ds2– отрезок кривой между кривыми и (+d), то
–
ds1
d
=
ds2
d
=
1
R
,
(4)
и кривые пересекаются под прямым углом.
Если положить потенциал равным V=V0+k, где k - некоторая постоянная, то V будет удовлетворять уравнению Лапласа, и кривые будут эквипотенциальными кривыми. Кривые будут при этом силовыми линиями, а поверхностный интеграл от R по цилиндрической поверхности единичной высоты, проекцией которой на плоскость xy является кривая AB, равен k(B– A), где A и B– значения на концах кривой.
Если построить на плоскости одну совокупность кривых, соответствующую значениям , взятым в арифметической прогрессии, и другую совокупность кривых, соответствующих последовательности значений с той же разностью прогрессии,
Если две или несколько эквипотенциальных линий являются замкнутыми кривыми, ограничивающими непрерывную область, то эти кривые можно принять за поверхности проводников с потенциалами соответственно V=V0+k1, V=V0+k2 и т.д. Количество электричества на любом из этих проводников, расположенное между силовыми линиями (1) и (1), равно k(2– 1)/4.
Таким образом, число эквипотенциальных кривых между двумя проводниками будет показывать разность потенциалов между ними, а число силовых линий, выходящих из проводника, будет показывать количество электричества на нём.
Ниже мы сформулируем некоторые из наиболее важных теорем, касающихся сопряжённых функций, причём при их доказательстве мы будем исходить либо из уравнений (1), содержащих производные, либо из первоначального определения, использующего мнимые обозначения.
184.Теорема I.Если x' и y' – сопряжённые функции по отношению к x и y, а x'' и y'' – тоже сопряжённые функции по отношению к x и y, то функции x'+x'' и y'+y'' будут сопряжёнными функциями по отношению к x и y.
Действительно,
dx'
dx
=
dy'
dy
и
dx''
dx
=
dy''
dy
,
так что
d(x'+x'')
dx
=
d(y'+y'')
dy
.
Далее,
dx'
dy
=
–
dy'
dx
и
dx''
dy
=
–
dy''
dx
,
откуда
d(x'+x'')
dy
=
–
d(y'+y'')
dx
.
т.e. x'+x'' и y'+y'' являются сопряжёнными по отношению к x и y.
Графическое представление функции, являющейся суммой двух заданных функций
Пусть функция от x и y графически представлена семейством кривых в плоскости xy каждая из которых соответствует некоторому значению из последовательности значений, нарастающих с постоянной разностью .
Пусть другая функция от x и y аналогично представлена семейством кривых, соответствующих значениям с той же разностью, что и в последовательности .