Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Рис. 17
189. Пусть A - центр окружности радиуса AQ=b [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а E - заряд в точке A. Тогда потенциал в точке P равен
=
2E
ln
b
AP
;
(8)
и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке Q равна -E/(2b).
Произведём инверсию этой системы относительно точки O, приняв AO=mb, a^2=(m^2-1)b^2.
Плотность в точке Q' равна
E
2b
b^2-AA'^2
A'Q'^2
,
а потенциал в произвольной точке P' внутри окружности равен
'
=
=
2E(ln b-ln AP)
=
=
2E(ln OP'-ln A'P'-ln m)
.
(9)
Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда E в точке A' и заряда -E в точке O, являющейся изображением точки A' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке O равен и противоположен заряду в точке A'.
Если точка P' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив =ln r-ln b, 0=ln AA'-ln b, получим
AP'
=
be
,
AA'
=
be
0
,
AO
=
be
– 0
,
(10)
и потенциал в точке (,) равен
=
E ln
(
e
– 20
– 2
e
– 0
e
cos
+
e
2
)
–
–
E ln
(
e
20
– 2
e
0
e
cos
+
e
2
)
+
2E
0
.
(11)
Этоc потенциал в точке (,), обязанный заряду E, помещённому в точку (,0), причём =0, когда =0.
В этом случае и - сопряжённые функции в уравнении (5): - логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а - угол.
Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл (d/ds)ds по замкнутой кривой равен 2 или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.
Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая 1
1 См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.
190. Пусть теперь и - любые сопряжённые функции от x и y, такие, что кривые являются эквипотенциальными кривыми, а кривые - силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.
Предположим, что кривая, для которой потенциал
Тогда все кривые , расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым .
Координаты произвольной точки внутри кривой (0) определяются значениями и в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых в положительном направлении значение увеличивается на 2 при полном обходе кривой.
Предположим теперь, что кривая (0) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью E, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке внутри кривой равен
=
2E
(-
0
),
(12)
а количество электричества на любом отрезке кривой (0) ограниченной точками соответствующими 1 и 2, равно
Q
=
1
2
E
(
1
–
2
).
(13)
Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.
Пусть значения и для точки, в которой помещён заряд, равны 1 и 1. Подставляя в уравнение (11) -0 вместо , 1– 0 вместо 0 (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности =0) и -1 вместо , получим для потенциала в произвольной точке с координатами и
=
E ln
(
1
–
2e
+1– 20
cos(-
1
)
+
e
2(+1– 20)
)-
– E ln
(
1
–
2e
– 1
cos(-
1
)
+
e
2(-1)
)
– 2E
(
1
–
0
)
.
(14)
Это выражение для потенциала обращается в нуль при =0 конечно и непрерывно внутри кривой 0, за исключением точки (1,1), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2E ln r' где r' - расстояние от этой точки.