Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Рис. 17

189. Пусть A - центр окружности радиуса AQ=b [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а E - заряд в точке A. Тогда потенциал в точке P равен

=

2E

ln

b

AP

;

(8)

и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке Q равна -E/(2b).

Произведём инверсию этой системы относительно точки O, приняв AO=mb, a^2=(m^2-1)b^2.

Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в A', равный заряду A, причём AA'=(b/m).

Плотность в точке Q' равна

E

2b

b^2-AA'^2

A'Q'^2

,

а потенциал в произвольной точке P' внутри окружности равен

'

=

=

2E(ln b-ln AP)

=

=

2E(ln OP'-ln A'P'-ln m)

.

(9)

Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда E в точке A' и заряда -E в точке O, являющейся изображением точки A' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке O равен и противоположен заряду в точке A'.

Если точка P' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив =ln r-ln b, ₀=ln AA'-ln b, получим

AP'

=

be

,

AA'

=

be

^₀

,

AO

=

be

^{– ₀}

,

(10)

и потенциал в точке (,) равен

=

E ln

(

e

^{– 2₀}

– 2

e

^{– ₀}

e

cos

+

e

²

)

–

–

E ln

(

e

^2₀

– 2

e

^₀

e

cos

+

e

²

)

+

2E

₀

.

(11)

Этоc потенциал в точке (,), обязанный заряду E, помещённому в точку (,0), причём =0, когда =0.

В этом случае и - сопряжённые функции в уравнении (5): - логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а - угол.

Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл (d/ds)ds по замкнутой кривой равен 2 или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.

Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая ¹

¹ См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.

190. Пусть теперь и - любые сопряжённые функции от x и y, такие, что кривые являются эквипотенциальными кривыми, а кривые - силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.

Предположим, что кривая, для которой потенциал равен ₀, является замкнутой, причём ни одна часть заряженной системы не расположена внутри неё, за исключением половины единичного заряда в начале координат.

Тогда все кривые , расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым .

Координаты произвольной точки внутри кривой (₀) определяются значениями и в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых в положительном направлении значение увеличивается на 2 при полном обходе кривой.

Предположим теперь, что кривая (₀) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью E, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке внутри кривой равен

=

2E

(-

₀

),

(12)

а количество электричества на любом отрезке кривой (₀) ограниченной точками соответствующими ₁ и ₂, равно

Q

=

1

2

E

(

₁

–

₂

).

(13)

Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.

Пусть значения и для точки, в которой помещён заряд, равны ₁ и ₁. Подставляя в уравнение (11) -₀ вместо , ₁– ₀ вместо ₀ (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности =₀) и -₁ вместо , получим для потенциала в произвольной точке с координатами и

=

E ln

(

1

–

2e

^{+₁– 2₀}

cos(-

₁

)

+

e

^{2(+₁– 2₀)}

)-

– E ln

(

1

–

2e

^{– ₁}

cos(-

₁

)

+

e

^2(-₁)

)

– 2E

(

₁

–

₀

)

.

(14)

Это выражение для потенциала обращается в нуль при =₀ конечно и непрерывно внутри кривой ₀, за исключением точки (₁,₁), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2E ln r' где r' - расстояние от этой точки.