Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

d^2V

dx^2

d^2V

dy^2

=

d^2V

dx'^2

dx'

dx

^2

+

dx'

dy

^2

+

d^2V

dy'^2

dy'

dx

^2

+

dy'

dy

^2

=

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

dx'

dx

dy'

dy

–

dx'

dy

dy'

dx

,

откуда

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

dx

dy

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

x

x

dx'

dx

dy'

dy

–

dx'

dy

dy'

dx

dx

dy

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

dx'

dy'

.

Если V -

потенциал, то, согласно уравнению Пуассона

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

+

4

=

0,

так что dxdy = dx'dy', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.

Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях

187.Теорема IV.Если x₁ и y₁ а также x₂ и y₂ являются сопряжёнными функциями от x и y, а X=x₁x₂– y₁y₂ и Y=x₁y₂– x₂y₁, то X и Y – сопряжённые функции от x и y.

Действительно,

X

+

– 1

Y

=

(x

₁

+

– 1

+y

₁

)

(x

₂

+

– 1

+y

₂

)

.

Теорема V.Если– решение уравнения

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0, а

2R

=

ln

d

dx

^2

+

d

dy

^2

и

=-

arctg

d/dx

d/dy

,

то R и – сопряжённые функции от x и y.

Действительно, R и - сопряжённые функции от d/dy и d/dx а последние являются сопряжёнными функциями от x и y.

Пример I. Инверсия.

188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.

Пусть O - фиксированная точка в плоскости, OA - фиксированное направление, r=OP=ae AOP, x и y - прямоугольные координаты точки P относительно O. Тогда

=

ln

x^2+y^2

a

,

=

arctg

y

x

,

x

=

ae

cos

,

y

=

ae

sin

,

(5)

так что и являются сопряжёнными функциями от x и y.

Если '=n и '=n, то ' и ' будут сопряжёнными функциями от и . При n=-1

r'

=

a^2

r

 и

=

–

,

(6)

т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления OA.

Инверсия в двух измерениях

Пусть в этом случае r и r' представляют собой расстояния соответствующих точек от O, e и e' - полную электризацию тела, S и S' -элементы поверхности, V и V' - элементы объёма, и ' - поверхностные плотности, и ' - объёмные плотности, и ' - соответствующие потенциалы. Тогда

r'

r

=

S'

S

=

a^2

r^2

=

r'^2

a^2

,

V'

V

=

a⁴

r⁴

=

r'⁴

a⁴

,

e'

e

=

1,

'

=

r^2

a^2

=

a^2

r'^2

,

'

=

r⁴

a⁴

=

a⁴

r'⁴

,

(7)

и, поскольку, по предположению, ' получается из выражением старых переменных через новые,

'

=

1.

(7')

Пример II. Электрические изображения в двух измерениях