Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
d^2V
dx^2
d^2V
dy^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dx
^2
+
dx'
dy
^2
+
d^2V
dy'^2
dy'
dx
^2
+
dy'
dy
^2
=
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dx
dy'
dy
–
dx'
dy
dy'
dx
,
откуда
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
x
x
dx'
dx
dy'
dy
–
dx'
dy
dy'
dx
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dy'
.
Если V -
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
4
=
0,
так что dxdy = dx'dy', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.
Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях
187.Теорема IV.Если x1 и y1 а также x2 и y2 являются сопряжёнными функциями от x и y, а X=x1x2– y1y2 и Y=x1y2– x2y1, то X и Y – сопряжённые функции от x и y.
Действительно,
X
+
– 1
Y
=
(x
1
+
– 1
+y
1
)
(x
2
+
– 1
+y
2
)
.
Теорема V.Если– решение
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
=
0, а
2R
=
ln
d
dx
^2
+
d
dy
^2
и
=-
arctg
d/dx
d/dy
,
то R и – сопряжённые функции от x и y.
Действительно, R и - сопряжённые функции от d/dy и d/dx а последние являются сопряжёнными функциями от x и y.
Пример I. Инверсия.
188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.
Пусть O - фиксированная точка в плоскости, OA - фиксированное направление, r=OP=ae AOP, x и y - прямоугольные координаты точки P относительно O. Тогда
=
ln
x^2+y^2
a
,
=
arctg
y
x
,
x
=
ae
cos
,
y
=
ae
sin
,
(5)
так что и являются сопряжёнными функциями от x и y.
Если '=n и '=n, то ' и ' будут сопряжёнными функциями от и . При n=-1
r'
=
a^2
r
и
=
–
,
(6)
т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления OA.
Инверсия в двух измерениях
Пусть в этом случае r и r' представляют собой расстояния соответствующих точек от O, e и e' - полную электризацию тела, S и S' -элементы поверхности, V и V' - элементы объёма, и ' - поверхностные плотности, и ' - объёмные плотности, и ' - соответствующие потенциалы. Тогда
r'
r
=
S'
S
=
a^2
r^2
=
r'^2
a^2
,
V'
V
=
a4
r4
=
r'4
a4
,
e'
e
=
1,
'
=
r^2
a^2
=
a^2
r'^2
,
'
=
r4
a4
=
a4
r'4
,
(7)
и, поскольку, по предположению, ' получается из выражением старых переменных через новые,
'
=
1.
(7')
Пример II. Электрические изображения в двух измерениях