Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

=

e'

a'

,

(22)

Произведём теперь инверсию этой системы. Центр B' переходит в инвертированной системе в инверсную точку B, заряд e' в точке B' переходит в e'R/f' в точке B и во всех точках, отделённых от точки B сферической поверхностью, потенциал равен потенциалу от заряда в точке B.

Потенциал в любой точке P, находящейся на сферической поверхности или по ту же сторону от неё, что и точка B, равен в инвертированной системе (e'/a')x(R/AP).

Если теперь добавить к этой системе заряд e в точке A, равный

e

=

–

e'

a'

P

,

(23)

то

потенциал на сферической поверхности и во всех точках, расположенных по ту же сторону от неё, что и точка B, станет равным нулю. Во всех точках, расположенных с той стороны, где находится точка A, потенциал будет равен потенциалу от заряда e в точке A и заряда e'P/f' в точке B.

Но

e'

P

f'

=

– e

a'

f

=

– e

a

f

,

(24)

как мы видели раньше для заряда изображения в точке B.

Для нахождения плотности в каждой точке первой поверхности имеем

=

'

R^3

AP^3

.

(25)

Подставляя выражение ' через характеристики первой сферы, получим то же значение, что и в п. 158:

=

–

e(f^2-a^2)

4a·AP^2

.

(26)

О конечных системах последовательных изображений

165. Если две проводящие плоскости пересекаются под углом, являющимся целым делителем двух прямых углов, то получается конечная система изображений, полностью определяющая электризацию.

Действительно, пусть AOB - сечение двух проводящих плоскостей, перпендикулярное линии их пересечения, пусть угол пересечения AOB=/n, а P - точечный заряд. Тогда, построив окружность с центром в точке O радиусом OP и найдя точки, являющиеся последовательными изображениями точки P в обеих плоскостях, начиная с изображения в OB, мы найдём изображение Q₁ точки P в OB, изображение P₂ точки Q₁ в OA, изображение Q₃ точки P₂ в OB, изображение P₃ точки Q₃ в OA, изображение Q₂ точки P₃ в OB и так далее. Если бы мы начали с изображения P в AO, то получили бы те же точки в обратной последовательности - Q₂, R₃, Q₃, R₂, Q₁, если только AOB является целым делителем двух прямых углов [рис. 10].

Рис. 10

Заданный точечный заряд и получающиеся через раз изображения P₂, P₃ расположены по окружности на угловом расстонии 2AOB друг от друга, промежуточные изображения Q₁, Q₂, Q₃ находятся на таких же расстояниях друг от друга. Таким образом, если 2AOB является целым делителем 2, то получится конечная система изображений, причём ни одно из них не попадёт внутрь угла AOB. Если же AOB не является целым делителем , то истинное распределение электричества не может быть представлено конечным набором точечных зарядов.

Если AOB=/n, то будет n отрицательных изображений Q₁, Q₂ и т. д., равных по величине и противоположных по знаку заряду Q, и n-1 положительных изображений P₂, P₃ и т. д., равных P по величине и по знаку.

Угол между последовательными изображениями одинакового знака равен 2/n. Если каждую из проводящих плоскостей рассмотреть как плоскость симметрии, то видно, что точечный заряд и его положительные и отрицательные изображения расположены симметрично относительно этой плоскости, причём каждому положительному изображению соответствует отрицательное изображение, расположенное на той же нормали и на таком же расстоянии по другую сторону от плоскости.

Если теперь инвертировать систему относительно произвольной точки, то обе плоскости перейдут в две сферы или же в сферу и плоскость, пересекающиеся под углом /n причём точка P, инверсная к точке P, расположена внутри этого угла.

Последовательные изображения расположены на окружности, проходящей через точку P и пересекающей обе сферы под прямыми углами.

Чтобы найти положение этих изображений, можно использовать тот факт, что точка и её изображение в сфере расположены на одном и том же радиусе сферы, И построить последовательно хорды окружности, на которой лежат изображения, начиная с точки P и проводя их попеременно через центры обеих сфер.

Для определения заряда, который следует приписать каждому изображению, выберем произвольную точку на окружности пересечения, тогда заряд каждого Изображения будет пропорционален его расстоянию до этой точки, а знак будет положительным или отрицательным в зависимости от того, принадлежит ли точка изображения к первой последовательности или ко второй.

166. Итак, мы нашли расположение изображений для любого объёма, ограниченного проводником, состоящим из двух сферических поверхностей, встречающихся под углом /n, поддерживаемого под нулевым потенциалом и находящегося под действием точечного заряда.

Методом инверсии мы можем рассмотреть случай расположенного в свободном пространстве проводника, состоящего из двух сферических сегментов, пересекающихся под входящим углом /n, и находящегося под единичным потенциалом.

Для этого произведём инверсию системы плоскостей по отношению к точке P и изменим знаки зарядов. Окружность, на которой раньше располагались заряды, переходит в прямую, проходящую через центры сфер.

Рис. 11

Пусть рис. 11 представляет собой сечение, проходящее через линию центров AB, a D и D' - точки пересечения общей окружности обеих сфер с плоскостью чертежа. Тогда для нахождения последовательных изображений построим радиус DA первой сферы и прямые DC, DE и т. д., образующие углы /n, 2/n и т. д. с DA. В точках A, C, E и т. д., в которых эти прямые пересекают линию центров, расположены положительные изображения, а заряд в каждой точке даётся её расстоянием от точки D. Последнее из этих изображений находится в центре второй окружности.

Для нахождения отрицательных изображений проведём прямые DQ, DR и т. д., образующие углы /n, 2/n и т. д. с линией центров. Пересечения этих прямых с линией центров дают положения отрицательных изображений, а величина заряда в них даётся их расстоянием до точки D так как, если E и Q - инверсные точки для сферы A, то углы ADE, AQD равны между собой.

Поверхностная плотность в произвольной точке любой из сфер равна сумме поверхностных плотностей, обусловленных системой изображений. Так, например, поверхностная плотность в произвольной точке S сферы с центром в A равна