Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
1
4·DA
1
+
(AD^2-AB^2)
DB
BS^2
+
(AD^2-AC^2)
DC
CS^2
+…
,
где A, B, C и т.д.- последовательность положительных изображений.
Если точка S расположена на окружности пересечения, то плотность в ней равна нулю.
Для нахождения полного заряда одного из сферических сегментов нужно найти поверхностный интеграл по этому сегменту от величины индукции, создаваемой каждым изображением.
Полный заряд на сегменте с центром в точке A, обусловленный
DA
DA+OA
2(DA)
=
1
2
(DA+OA)
,
где O - центр окружности пересечения.
Аналогично заряд на этом же сегменте, обусловленный изображением B, равен (DB+OB)/2 и т. д., причём отрезки OB и т. п., отсчитываемые влево от O, считаются отрицательными.
Таким образом, полный заряд на сегменте с центром в точке A равен
1/2 (DA+DB+DC+…)
+
1/2 (OA+OB+OC+…)
–
–
1/2 (DP+DQ+…)
–
1/2 (OP+OQ+…)
.
167. Метод электрических изображений может быть применён к любому объёму, ограниченному плоскими или сферическими поверхностями, если все эти поверхности пересекаются под углами, являющимися целыми делителями двух прямых углов.
Для того чтобы существовала такая система сферических поверхностей, каждый пространственный угол должен быть трехгранным, причём два образующих его угла должны быть прямыми, а третий - либо прямой, либо целый делитель двух прямых углов.
Таким образом, имеются следующие случаи конечного числа изображений: 1) одиночная сферическая поверхность или плоскость; 2) две плоскости, сфера и. плоскость или две сферы, пересекающиеся под углом /n; 3) две таких поверхности вместе с третьей поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две под прямым углом; 4) три таких поверхности вместе с четвёртой поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две поверхности ортогонально, а третью - под углом /n; из этих четырёх поверхностей по крайней мере одна должна быть сферической.
Первый и второй случай мы уже рассмотрели. В первом случае имеется единственное изображение. Во втором - (2n-1)-изображений расположены двумя последовательностями на окружности, проходящей через действующий заряд и ортогональной обеим поверхностям. В третьем случае мы имеем наряду с этими изображениями и действующим зарядом ещё их изображения в третьей поверхности, т. е. всего (4n-1)-изображений, не считая действующего заряда.
В четвёртом случае проведём сначала через действующий заряд окружность, ортогональную первым двум поверхностям, и найдём на ней положения и величины n отрицательных изображений и (n-1) положительных изображений. Затем через каждую из этих 2n точек, включая и точку нахождения действующего заряда, проведём окружность, ортогональную третьей и четвёртой поверхностям, и найдём на ней две последовательности изображений по n' изображений в каждой. Таким образом, мы получим, не считая действующего заряда, (2nn'-1) положительных и 2nn' отрицательных изображений. Эти 4nn' точек являются точками пересечения окружностей, принадлежащих двум системам линий кривизны циклиды.
Если в каждой из упомянутых точек поместить заряд надлежащей величины, то поверхность нулевого потенциала будет состоять из n+n' сфер, принадлежащих к двум семействам, причём последовательные сферы одного семейства пересекаются под углом /n
Случай двух взаимно ортогональных сфер
(см. рис. IV в конце этого тома)
168. Пусть A и B - центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямым углом по окружности, проходящей через точки D и D (см. рис. 12), и пусть прямая DD' пересекает линию центров в точке C. Тогда точка C является изображением A в сфере B, а также изображением B в сфере A. Если AD= a BD=, то AB=^2+^2 и если в точки A, B, C поместить соответственно количества электричества , и -/^2+^2, то обе сферы будут эквипотенциальными поверхностями с единичным потенциалом.
Рис. 12
С помощью такой системы мы можем, следовательно, определить распределение электричества для следующих случаев:
1) На проводнике PDQD', образуемом большими сегментами обеих сфер. Потенциал проводника равен единице, а заряд равен
+
–
^2+^2
=
AD
+
BD
–
CD
.
Это же выражение является, следовательно, и мерой ёмкости такого проводника, когда он свободен от индуктивного действия других тел.
Плотность в произвольной точке P сферы с центром в A и в произвольной точке O сферы с центром в B равны соответственно
1
4
1
–
BP
и
1
4
1
–
AQ
.
На окружности пересечения плотность равна нулю.
Если одна из сфер намного больше другой, то плотность в вершине меньшей сферы в пределе втрое больше плотности в вершине большей сферы.
2) На линзе P'DQ'D', образуемой обоими меньшими сегментами сфер, заряженной количеством электричества =-/^2+^2, находящейся под воздействием точек A и B, несущих заряды и , и имеющей единичный потенциал. Плотность в произвольной точке выражается той же формулой.
3) На мениске PDD'Q' с зарядом B, подверженном воздействию точек B и C, несущих соответственно заряды и -/^2+^2 и тоже находящемся в равновесии при единичном потенциале.
4) На другом мениске QDP'Q' с зарядом , находящемся под воздействием точечных зарядов в A и C.
Мы можем также найти распределение электричества на следующих внутренних поверхностях:
– полая линза P'DQ'D' под действием расположенного внутри точечного заряда C в центре окружности DD';
– полый мениск под действием точечного заряда в центре вогнутой поверхности;
– полость, образуемая двумя большими сегментами обеих сфер под действием трёх точечных зарядов A, B, C.
Однако вместо того, чтобы расписывать решения для этих случаев, мы применим принцип электрических изображений для определения плотности электричества, наводимой в точке P внешней поверхности проводника PDQD' под действием единичного точечного заряда, находящегося в точке O.