Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Поэтому мы называем величину

W

=

1

2

(eV)

(3)

электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы.

85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (e,V) в состояние (e',V') таким образом, что различные заряды одновременно изменяются со скоростями, пропорциональными их полному приращению e'-e.

Если в какой-либо момент заряд определённой части системы равен e+n(e'-e), то её потенциал равен V+n(V'-V),

а работа, совершенная при изменении заряда этой части системы, равна

1

0

(e'-e)

[V+n(V'-V)]

en

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

,

так что если W - энергия системы в состоянии (e',V'), то

W'-W

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

.

(4)

Но

W

=

1

2

(e,V)

,

и

W'

=

1

2

(e',V')

.

Подставляя эти значения в (4), получим

(e,V')

=

(e',V)

.

Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.

Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.

85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:

W'-W

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

.

(6)

Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде

dW

=

(Ve)

=

(eV)

.

(7)

Если обозначить через W_e и W_V выражения для W соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через A_r, e_r, и V_r– один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то

V

_r

=

(dW

_e

/de

_r

)

,

(8)

e

_r

=

(dW

_V

/dV

_r

)

.

(9)

86.

Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через A_t, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника e_t=0 и e'_t=0, так что члены, соответствующие проводнику A_t, отсутствуют в обеих частях равенства (5).

Если какой-либо другой проводник, скажем A_t, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то V_t=0, и V'_t=0, так что соответствующие проводнику A_t члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).

Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем A_r и A_s, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид

e

_r

V'

_r

+

e

_s

V'

_s

=

e'

_r

V

_r

+

e'

_s

V

_s

.

(10)

Пусть в начальном состоянии e_r=1 и e_r=0, а в конечном e'_r=0 и e_r=1, тогда уравнение (10) примет вид

V'

_r

=

V

_s

,

(11)

т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику A_r повышает потенциал изолированного проводника A_s до V, то единичный заряд, сообщённый проводнику A_r, повышает потенциал изолированного проводника A_s до того же значения V при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.

Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.

Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен r^{– 1}, где r - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии r от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения r^{– 1}.

Предположим теперь, что в начальном состоянии V_r=1 и V_s=0 а в конечном V'_r=0 и V_s=1, тогда уравнение (10) примет вид

e