Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Поэтому мы называем величину
W
=
1
2
(eV)
(3)
электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы.
85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (e,V) в состояние (e',V') таким образом, что различные заряды одновременно изменяются со скоростями, пропорциональными их полному приращению e'-e.
Если в какой-либо момент заряд определённой части системы равен e+n(e'-e), то её потенциал равен V+n(V'-V),
1
0
(e'-e)
[V+n(V'-V)]
en
=
1
2
(e'-e)
(V'+V)
,
так что если W - энергия системы в состоянии (e',V'), то
W'-W
=
1
2
(e'-e)
(V'+V)
.
(4)
Но
W
=
1
2
(e,V)
,
и
W'
=
1
2
(e',V')
.
Подставляя эти значения в (4), получим
(e,V')
=
(e',V)
.
Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.
85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:
W'-W
=
1
2
(e'-e)
(V'+V)
.
(6)
Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде
dW
=
(Ve)
=
(eV)
.
(7)
Если обозначить через We и WV выражения для W соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через Ar, er, и Vr– один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то
V
r
=
(dW
e
/de
r
)
,
(8)
e
r
=
(dW
V
/dV
r
)
.
(9)
86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через At, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника et=0 и e't=0, так что члены, соответствующие проводнику At, отсутствуют в обеих частях равенства (5).
Если какой-либо другой проводник, скажем At, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то Vt=0, и V't=0, так что соответствующие проводнику At члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем Ar и As, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид
e
r
V'
r
+
e
s
V'
s
=
e'
r
V
r
+
e'
s
V
s
.
(10)
Пусть в начальном состоянии er=1 и er=0, а в конечном e'r=0 и er=1, тогда уравнение (10) примет вид
V'
r
=
V
s
,
(11)
т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику Ar повышает потенциал изолированного проводника As до V, то единичный заряд, сообщённый проводнику Ar, повышает потенциал изолированного проводника As до того же значения V при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.
Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.
Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен r– 1, где r - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии r от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения r– 1.
Предположим теперь, что в начальном состоянии Vr=1 и Vs=0 а в конечном V'r=0 и Vs=1, тогда уравнение (10) примет вид
e