Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
=
[(P+Q).(A+B)]
,
эти составные символы ведут себя по отношению к сложению и умножению как обычные числа.
Символ [A.A] означает заряд на проводнике A при единичном потенциале A т.е. ёмкость проводника A.
Аналогично [(A+B).(A+Q)] означает сумму зарядов на проводниках A и B при единичном потенциале на A и на Q и при нулевом потенциале остальных проводников, кроме A и Q. Эту величину можно разложить на сумму [A.A] + [A.B] + [A.Q] + [B.Q].
Коэффициенты потенциала не могут быть рассмотрены таким же способом. Коэффициенты индукции представляют
Коэффициенты индукции между двумя проводниками можно выразить через ёмкости этих проводников и через совместную ёмкость обоих проводников: [A.B] = [(A+B).(A+B)]/2 - [A.A]/2 - [B.B]/2.
Размерность коэффициентов
88. Поскольку потенциал заряда e на расстоянии r равен e/r, то размерность электрического заряда равна произведению размерностей потенциала и длины.
Поэтому коэффициенты ёмкости и индукции имеют ту же размерность, что и длина, так что каждый из них может быть представлен отрезком прямой, длина которого не зависит от принятой системы единиц.
По тем же соображениям коэффициенты потенциала имеют размерность, обратную размерности длины.
О некоторых условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты
89 а. Прежде всего, поскольку электрическая энергия системы является существенно положительной величиной, то выражающая её квадратичная форма от зарядов или от потенциалов должна быть положительной при любых положительных или отрицательных значениях зарядов или потенциалов.
Существует n условий того, что однородная квадратичная функция n переменных всегда положительна; их можно записать в виде
p
11
>0,
p
11
,
p
12
p
21
,
p
12
>0, …
p
11
…,
p
1n
…
…,
…
p
n1
…,
p
nn
>0.
(22)
Эти n условий необходимы и достаточны для того, чтобы квадратичная форма We была существенно положительной 1. Но поскольку в выражении (16) проводники могут быть расположены в произвольном порядке, то положительным должен быть любой детерминант, образованный симметрично из коэффициентов, относящихся к любому сочетанию из n проводников, причём число таких сочетаний равно 2n– 1 Однако из всех этих условий лишь n оказываются независимыми.
1 См. Williamson, «Differential Calculus», 3rd edition, p. 407.
Коэффициенты ёмкости и индукции удовлетворяют таким же условиям.
89 б.Все коэффициенты потенциала положительны, причём ни один из коэффициентов prs не превосходит prr или pss.
Пусть проводнику Ar сообщён единичный заряд, а все остальные проводники не заряжены. При этом образуется некоторая система эквипотенциальных поверхностей. Одна из них совпадает с поверхностью проводника Ar; потенциал на ней равен prr. Если проводник As расположен в полости внутри проводника Ar, т.е. полностью окружён им, то потенциал As тоже равен prr.
Если же проводник As находится вне Ar, то его потенциал prs будет заключаться между prr и нулём.
Действительно, рассмотрим силовые линии, выходящие из заряженного проводника Ar. Заряд проводника измеряется превышением числа выходящих из проводника линий над числом заканчивающихся на нём. Поэтому для незаряженного проводника число входящих в проводник линий должно равняться числу выходящих из него. Линии, входящие в проводник, приходят из области с большим потенциалом, а выходящие линии уходят в области с меньшим потенциалом. Поэтому потенциал незаряженного проводника должен быть промежуточным между наибольшим и наименьшим потенциалом в поле, и, следовательно наибольший и наименьший потенциал не может достигаться на незаряженное теле.
Таким образом, наибольшим потенциалом должен быть потенциал prr заряженного тела Ar, а наименьшим - потенциал на бесконечном расстоянии, равный нулю; потенциалы всех остальных проводников prs должны лежать между prr и нулём.
Если As полностью охватывает At, то prs = prt.
89 в. Ни один из коэффициентов индукции не может быть положительным и сумма всех коэффициентов индукции, относящихся к определённому проводнику, численно не превышает коэффициента ёмкости этого проводника, который всегда положителен.
Пусть Ar находится под единичным потенциалом, тогда как на всех остальных проводниках поддерживается нулевой потенциал. Тогда заряд на Ar будет равен qrr, а на любом прочем проводнике As равен qrs.
Число силовых линий, выходящих из Ar, равно qrr. Часть из них кончается на других проводниках, часть может уходить в бесконечность, но ни одна силовая линия не может идти с одного из прочих проводников на другой или же в бесконечность, так как все они находятся под нулевым потенциалом.