Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1
dV1
d1
+
K
2
dV2
d2
+
4
=
0,
(2)
где 1, 2– нормали в сторону первой и второй среды, а - истинная поверхностная плотность заряда на поверхности раздела, т. е. количество электричества, фактически находящееся на поверхности в виде заряда, изменить которое можно, лишь подведя к
Кажущееся распределение электричества
83 б. Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объёмную плотность ' и поверхностную плотность ' в предположении, что K всюду равно единице, то величину ' можно назвать кажущейся объёмной плотностью, а ' - кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенциала в предположении, что приведённый в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учёта различия в свойствах диэлектриков.
Кажущийся заряд электричества внутри заданного объёма может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через границы этого объёма. Поэтому его следует отличать от истинного заряда, удовлетворяющего уравнению непрерывности.
В неоднородном диэлектрике, в котором K меняется непрерывно, для кажущейся объёмной плотности ' справедливо соотношение
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
+
4'
=
0.
(3)
Сопоставляя его с уравнением (1), получим
4
(-K')
+
dK
dx
dV
dx
+
dK
dy
dV
dy
+
dK
dz
dV
dz
=
0.
(4)
Истинная электризация, обозначаемая через , создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через K такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью ' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.
Кажущаяся поверхностная плотность ' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения
dV1
d1
+
dV2
d2
+
4'
=
0.
Если твёрдый диэлектрик произвольной формы является идеальным изолятором и на его поверхность не внесён никакой заряд, то истинный заряд на ней равен нулю, каковы бы ни были действующие на неё электрические силы. Таким образом,
K
1
dV1
d1
+
K
2
dV2
d2
=
0,
откуда
dV1
d1
=
4K2
K1– K2
,
dV2
d2
=
4K1
K2– K1
.
Поверхностная
4 См. Фарадей «Remarks on Static Induction», Proceedings of the Royal Institution, Feb. 12, 1858.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
Уравнения
d
dx
K
dV
dx
+
d
dy
K
dV
dy
+
d
dz
K
dV
dz
+
4
=
0,
K
1
dV
d1
+
K
2
dV
d2
+
4
=
0
выражают условие, что смещение через любую замкнутую поверхность отличается множителем 4 от количества электричества внутри неё. Первое уравнение получается сразу при применении этого принципа к параллелепипеду, грани которого перпендикулярны координатным осям, а второе - применением к цилиндру, охватывающему элемент заряженной поверхности.
Предваряя результаты следующей главы, мы можем вывести эти уравнения непосредственно из фарадеевского определения удельной индуктивной способности. Рассмотрим случай конденсатора, состоящего из двух бесконечных параллельных пластин. Пусть V1 и V2– потенциалы этих пластин, d - расстояние между ними, а E - заряд на площади A одной из пластин. Тогда, если K - удельная индуктивная способность разделяющего их диэлектрика, то
E
=
KA
V1– V2
4d
.
Энергия системы Q согласно п. 84, равна
1
2
E
(V
1
– V
2
)
=
1
2
KA
(V1– V2)2
4d
,
или, если обозначить через F электродвижущую напряжённость в произвольной точке между пластинами, Q=(1/8)KAdF^2. Если мы считаем энергию сосредоточенной в диэлектрике, то на единицу объёма придётся энергия Q=Ad, так что количество энергии в единице объёма равно KF^2/8. Этот результат остаётся справедливым и для неоднородного поля, так что энергия для произвольного электрического поля равна