Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность

75. Пусть R - результирующая напряжённость в произвольной точке поверхности, а - угол, который она образует с нормалью, проведённой к положительной стороне поверхности. Тогда R cos - составляющая напряжённости по нормали к поверхности, и если dS - элемент поверхности, то электрическое смещение через dS будет, согласно п. 68, равно (1/4)KR cos dS. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то K=1.

Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения

теории электрического смещения, назвав величину R cos dS. Индукцией через элемент dS. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название её мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен R cos dS. Из п. 21 следует, что если X, Y, Z - составляющие R и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью S то индукция, отсчитываемая изнутри наружу, равна

R cos

где интегрирование проводится по всему объёму, охватываемому поверхностью.

Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром

76. Пусть в точке O находится количество электричества e и пусть r - расстояние произвольной точки Р от точки О. Тогда напряжённость в этой точке равна R=er– 2 и направлена по ОР.

Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечёт этой поверхности, либо выйдет из неё столько же раз, сколько войдёт. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности.

Пусть - угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где её пересекает ОР. Там, где прямая выходит из поверхности, cos положителен, а там, где входит, - отрицателен.

Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.

Этот конус вырежет малый элемент d на поверхности сферы и малые элементы dS1, dS2, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею.

Поскольку каждый из этих элементов dS пересекает конус на расстоянии r от вершины и наклонён под углом , то dS=±r^2 sec d, а так как R=er– 2, то R cos dS=±d. При этом положительный знак берётся, когда r выходит из поверхности, а отрицательный - когда входит.

Если точка О находится

вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления R cos dS=0, и, следовательно, R cos dS=0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.

Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что даёт положительный вклад ed а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае R cos dS=ed.

Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4, так что

R cos

Таким образом, мы заключаем, что полная индукция в наружном направлении через замкнутую поверхность, обусловленная силовым центром e находящимся в точке О, равна нулю, если точка О находится вне поверхности, и равна 4e если точка О находится внутри поверхности.

Поскольку в воздухе смещение равно индукции, делённой на 4, то смещение через замкнутую поверхность, отсчитываемое наружу, равно количеству электричества внутри поверхности.

Следствие. Отсюда следует также, что если поверхность не замкнута, а ограничена некоторой заданной замкнутой кривой, то полная индукция через эту поверхность равна e, где - телесный угол из точки О, опирающийся на эту замкнутую кривую. Эта величина зависит, следовательно, только от самой замкнутой кривой, а форма поверхности, ограниченной этой кривой, может меняться произвольным образом, лишь бы только она не переходила с одной стороны силового центра на другую.

Об уравнениях Лапласа и Пуассона

77. Поскольку значение полной индукции одного силового центра через замкнутую поверхность зависит лишь от того, находится ли он внутри поверхности или нет, и никак не зависит от положения этого центра, то если имеется несколько таких силовых центров e'1, e'2 и т. д. внутри поверхности и несколько центров e1, e2 и т. д. вне поверхности, то R cos dS=4e, где e означает алгебраическую сумму количеств электричества всех силовых центров внутри замкнутой поверхности, т. е. полное количество электричества, находящееся внутри поверхности, причём смоляное электричество считается отрицательным.

Если электричество распределено внутри поверхности так, что плотность его нигде не обращается в бесконечность, то согласно п. 64 4e=4dxdydz, а согласно п. 75

R cos