Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
74 б. Недавно этот опыт был повторён в Кавендишской Лаборатории в несколько ином виде.
Полусферы были закреплены на изолированной подставке, а шар закреплён внутри в надлежащем положении с помощью эбонитового кольца. В таком приспособлении изолирующая подставка шара никогда не находится под действием заметной электрической силы и, следовательно, никогда не заряжается, так что полностью исключается искажающее действие переползания электричества вдоль поверхности изолятора.
Полусферы не отводились перед проверкой потенциала шара. Они оставались на своём месте, но разряжались
Короткая проволочка, обеспечивавшая соединение оболочки с шаром, была прикреплена к небольшому металлическому диску, прикрывавшему небольшое отверстие в оболочке, так что, когда проволочка вместе с диском приподнималась с помощью шёлковой нити, в отверстие можно было погрузить электрод электрометра до контакта с находящимся внутри шаром.
Электрометром служил Томсоновский Квадрантный Электрометр, описанный в п. 219. Корпус электрометра и один из его электродов были всё время соединены с землёй, а измерительный электрод соединялся с землёй до разрядки оболочки.
Для определения первоначального заряда оболочки на значительном расстоянии от неё располагался на подставке небольшой латунный шарик.
Опыт проводился следующим образом.
Оболочка заряжалась контактом с лейденской банкой. Небольшой шарик соединялся с землёй и приобретал отрицательный заряд через индукцию, после чего он изолировался. Проволочка, соединявшая шар и оболочки, удалялась с помощью шёлковой нити. Затем оболочка разряжалась и оставалась заземлённой. Измерительный электрод отключался от земли, и через отверстие в оболочке приводился в контакт с шаром.
Электрометр не регистрировал ни малейшего эффекта.
Для проверки чувствительности прибора оболочка отсоединялась от земли, а небольшой шарик разряжался на землю. При этом электрометр показывал положительное отклонение D.
Отрицательный заряд на шарике составлял около 1/54 от первоначального заряда оболочки, положительный заряд, индуцированный этим шариком при заземлении оболочки, составлял около 1/9 заряда шарика. Таким образом, после заземления шарика потенциал оболочки, регистрируемый электрометром, составлял 1/486 её первоначального потенциала.
Если бы отталкивание было пропорционально rq-2, то потенциал шара составлял бы долю -0,1478q от потенциала оболочки согласно уравнению (22) п. 74 г.
Поэтому, если ±d - наибольшее отклонение электрометра, могущее оказаться не замеченным, a D - отклонение, зарегистрированное во второй части опыта, то q не может превосходить ±(1/72)·(d/D) (поскольку 0,1478qV/(1/486·V) должна быть меньше, чем d/D).
Даже в грубых опытах D превосходило 300d так что q не может превосходить ±1/21600.
Теория этого опыта
74 в. Найдём потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния.
Пусть (r) - расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии r, а f(r) - такая функция, что
df(r)
dr
(=f'(r))=r
r
f(r)
dr
.
(1)
Пусть радиус оболочки равен a а поверхностная плотность заряда на ней . Тогда если через обозначить полный заряд на оболочке, то
=4a^2
(2)
Пусть b - расстояние заданной точки от центра оболочки, а r - расстояние этой точки от любой данной точки оболочки.
Если мы введём сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим
r^2
=
a^2
+
b^2
–
2ab cos
.
(3)
Заряд элемента оболочки равен
a^2 sin
d
b
,
(4)
а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен
a^2 sin
f'(r)
r
b
d
.
(5)
Это выражение нужно проинтегрировать по от =0 до =2, что даёт
2
a^2 sin
f'(r)
r
b
.
(6)
Остаётся провести интегрирование по от =0 до =.
Дифференцируя (3), найдём
r
dr
=
ab
sin
d
.
(7)
Подставляя значение d в (6), получим
2
a
b
f'(r)
dr
.
(8)
Интегрирование даёт
V
=
2
a
b
{
f(r
1
)
–
f(r
2
)
},
(9)
где r1– наибольшее значение r равное всегда a+b а r1– наименьшее значение r, равное b-a в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и a-b когда эта точка внутри оболочки.
Если - полный заряд оболочки, a V - создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки
V
=
2ab
{
f(b+a)
–
f(b-a)
},
(10)
на самой оболочке