Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Для доказательства положим в Теореме III, п. 21,

(5)

Тогда

R cos

–

(6)

согласно (l), и

d^2

dx^2

d^2

dy^2

d^2

dz^2

– ^2

– S.

(7)

согласно (2)

и (3). По Теореме III

R cos

так что (6) и (7) дают

–

(8)

Поскольку в правой части равенства и можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).

96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем , многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области .

Поскольку и однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение 0 из многих значений в точке A внутри области , то тем самым определяется значение функции в любой другой точке P. Действительно, поскольку выбранное значение является непрерывным внутри объёма, то значение в точке P должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от A к P, начиная со значения 0 в точке A. Если бы значение в точке P получалось различным для различных путей из A в P, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области , эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.

Таким образом, при заданном значении 0 функции в точке A её значение в точке P определяется однозначно.

Если в точке A выбрано какое-либо другое значение , скажем 0+n, то значение функции в точке P будет +n. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена

–

который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.

96 в. Если область двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области , а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).

Пусть s1– одна из этих диафрагм, а 1, - соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область расположена по обе стороны от диафрагмы s1, то каждый элемент s1 войдёт дважды в поверхностный интеграл.

Пусть нормаль 1 проведена в положительную сторону ds1 a '1– в отрицательную. Тогда (d/d'1) = -(d/d1) и '1=1+1, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный ds1, будет равен

–

d'1

–

поскольку d1– элемент внутренней нормали к положительной поверхности.

Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде

–

– …-

–

(4a)

где d - элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берётся по граничной поверхности, а остальные - по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура.

Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем 2, а первое её применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону 3.

2 «"Uber Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen», Crelle, 1858. Англ, перевод проф. Тэта; Phil. Mag., 1867 (I).

3 «On Vortex Motion», Trans. R. S. Edin., XXV, part. I, p. 241 (1867).

96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем , не удовлетворяет тому условию, что сама функция и её первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке P этой области, и только в ней, причём вблизи точки P функция равна 0+e/r, где 0– конечная и непрерывная величина, а r - расстояние от P. Такой случай имеет место, если - потенциал количества электричества e, сосредоточенного в точке P, и любого распределения электричества с объёмной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области.