Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Отсюда следует, что 1– единственная функция от x, y, z, равная на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.

Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция 3, то W3 должно было бы быть меньше любого другого значения W. Но мы уже показали, что W1 меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше W3. Следовательно, никакая функция, отличная от 1, не может удовлетворять этим условиям.

Ниже мы увидим, что наиболее

часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью s и некоторым числом внутренних поверхностей s1, s2 и т. д., причём принимает нулевое значение на s и постоянные на каждой поверхности значения: 1 на s1, 2 на s2 и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.

Из всех функций , удовлетворяющих этим условиям, W минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ^2=0.

Теорема Томсона

Лемма

100 а. Пусть - произвольная функция x, y, z, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности s и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях s1, s2, …, sp, … значения 1, 2, …, p, …, постоянные на каждой поверхности.

Пусть u, v, w - функции x, y, z, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора C, удовлетворяющего условию соленоидальности

– S.C

(28)

Положим в Теореме III

(29)

В результате этих подстановок получим

(

)

(30)

где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а lp, mp, np– направляющие косинусы нормали к поверхности sp в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности u, v, w, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях:

1) если для любой точки поверхности =0,

2) если для любой точки поверхности lu + mv + nw =0,

3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),

4) если постоянно на каждой замкнутой поверхности и (lu+mv+nw)ds=0.

В этих четырёх случаях объёмный интеграл

(31)

100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью s и внутренними замкнутыми поверхностями s1, s2, ….

Пусть - функция x, y, z конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа

(32)

имеющая постоянные, но не заданные значения 1, 2, … соответственно на поверхностях s1, s2, … и нулевое значение на внешней поверхности s.

Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем s1, даётся поверхностным интегралом

(33)

где нормаль 1 направлена от поверхности s1 в сторону электрического поля.

100 в. Пусть теперь f, g, h - функции x, y, z, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора D, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности

(34)

и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем s1 интеграл типа

(

)

(35)

где l1, m1, n1, - направляющие косинусы нормали 1 к поверхности s1, в сторону электрического поля, а e1– та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью s1.