Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Рассмотрим объёмный интеграл

W

_D

=

2

(

f^2

+

g^2

+

h^2

)

dx

dy

dz

(36)

по всему полю внутри s и вне s₁, s₂, … и сравним его с интегралом

W

=

1

8

d

dx

^2

+

d

dy

^2

+

d

dz

^2

dx

dy

dz

(37)

по

тому же объёму.

Положим

u

=

f

+

1

4

d

dx

,

v

=

g

+

1

4

d

dy

,

w

=

h

+

1

4

d

dz

(38)

и введём

W

_C

=

2

(

u^2

+

v^2

+

w^2

)

dx

dy

dz

.

(39)

Тогда, поскольку

f^2

+

g^2

+

h^2

=

1

16^2

d

dx

^2

+

d

dy

^2

+

d

dz

^2

+

u^2

+

v^2

+

w^2

–

1

2

u

d

dx

+

v

d

dy

+

w

d

dz

,

(40)

то

W

_D

=

W

+

W

_C

–

–

u

d

dx

+

v

d

dy

+

w

d

dz

dx

dy

dz

.

Но, во-первых, u, v, w, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),

du

dx

+

dv

dy

+

dw

dz

=

df

dx

+

dg

dy

+

dh

dz

–

1

4

^2

,

(41)

a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.

Во-вторых, имеет место равенство

(

l

₁

u

+

m

₁

v

+

n

₁

w

)

ds

₁

=

=

(

l

₁

f

+

m

₁

g

+

n

₁

h

)

ds

₁

+

1

4

d

d₁

ds

₁

.

(42)

Но согласно (35) первое слагаемое справа равно e₁, а согласно (33) второе слагаемое справа равно -e₁, так что

(

l

₁

u

+

m

₁

v

+

n

₁

w

)

ds

₁

=

0.

(43)

Таким образом, так как ₁ постоянно, выполняется четвёртое условие п. 100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к

W

_D

=

W

+

W

_C

.

(44)

Далее, подынтегральное выражение в W_C является суммой трёх квадратов u^2+v^2+w^2 и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле u, v, и w не равны одновременно нулю, то интеграл W_C положителен, так что W_D больше W. Но и значения u=v=w=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.

Таким образом, если в каждой точке

f

=

–

1

4

d

dx

,

g

=

–

1

4

d

dy

,

h

=

–

1

4

d

dz

,

(45)

то

W

_D

=

W

(46)

и величина для этих значений f, g, h меньше, чем для любых других значений f, g, h.

Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение.

Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном ⁵. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы.

⁵Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.

100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор D не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию