Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Коллектив авторов

Постулат Плейфэра (ПП). В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Это утверждение имеет точно такой же смысл, как и постулат Евклида, и подчеркивает, что для П5 необходимы два условия: с одной стороны, существование «прямой, параллельной данной прямой, проведенной через точку, не лежащую на последней», а с другой стороны, эта прямая должна быть единственной. Это существование Евклид дает в предложении 31:

КРИВАЯ И ЕЕ АСИМПТОТА

При помощи пятого постулата Евклид предотвращает асимптотичность «искривления» прямых, как в случае с гиперболой и ее асимптотой (эта

предосторожность тем более необходима, поскольку, как мы уже увидели, Евклид не дает полного определения прямой, так что мы не знаем ее полных основных свойств).

В случае с кривыми, например, то, что одна все больше приближается ко второй, не означает, что они обязательно пересекутся, как видно на рисунке: гипербола постепенно приближается к прямой — своей асимптоте,— но никогда не коснется ее.

Книга I, предложение 31. Через точку Р> не лежащую на прямой АВ_У всегда можно провести прямую линию, параллельную данной прямой.

Проведем через точку Р линию PQ, перпендикулярную АВ (Q находится на прямой АВ или на ее продолжении, которое можно построить при помощи циркуля и линейки, согласно предложению 12). Таким же образом проведем через Р прямую PR, перпендикулярную PQ. Очевидно, что прямые PR и АВ параллельны, потому что в противном случае они бы пересеклись в некой точке, например R, и мы получили бы треугольник QPR с двумя прямыми углами. Но это невозможно (поскольку противоречит предложению 16 книги I), следовательно, существование параллельной доказано. Теперь мы должны доказать, что эта прямая всего одна. Для этого необходимо прибегнуть к ложному (или идеальному) геометрическому объекту, который уже подразумевает правильность того, что мы хотим доказать. Получается, факт единственности такой параллельной не вытекает ни из какого другого постулата. Как мы увидим дальше, это привело к настоящему перевороту, поскольку вынуждало поставить под сомнение авторитет Евклида.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

Доказать единственность параллельной можно, приняв за истину евклидову геометрию.

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, всегда можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Если бы существовали две прямые, параллельные АВ (вводится дополнительная фигура, воображаемая, поскольку основана на ложной предпосылке), это были бы первая (та, которая образует прямой угол с PQ в точке Р) и PR. Следовательно, угол <QPR был бы меньше прямого (книга I, предложение 31), а сумма углов <BQP и <QPR была бы меньше суммы двух прямых углов (общее понятие 4). Согласно пятому постулату прямые PR и АВ пересекаются. Возникает противоречие. Следовательно, необходимо отказаться от гипотезы, по которой PR является параллельной.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Говоря о геометрии, невозможно не задаться вопросом: какова же истинная геометрия природы? Несомненно, одна из целей аксиоматизации состоит в том, чтобы уловить истину сущего. Но, возможно, на самом деле мы просто улавливаем истинность того, что представляем, то есть порождения человеческого разума, необязательно совпадающего с реальностью.

Во времена Евклида были две «настоящие» геометрические науки: «геометрия небес», то есть сферическая геометрия, необходимая для понимания астрономических процессов, так занимавших древнегреческих мыслителей, и «геометрия внутреннего двора», которой занимался Архимед, когда, по легенде, римский солдат поразил его своим мечом. Первую сейчас называют эллиптической геометрией. Она проявляется на поверхности земного шара.

В этой геометрии точки определяются так же, а прямые — нет. Если вслед за Архимедом принять за прямую кратчайшую линию, соединяющую две точки, то мы заметим, что в эллиптической геометрии эти прямые обязательно пересекутся. Представим себе ситуацию: два человека начинают идти по прямой по земному шару, достигая в итоге исходной точки. Оба опишут максимальную окружность (то есть ту, которая делит сферу на два равных полушария), а максимальные окружности сферы обязательно пересекаются (на рисунке 3 окружности r и r' пересекаются в точке Р). Следовательно, в этой геометрии через заданную точку невозможно провести ни одну прямую, параллельную данной.

Вторая геометрия — внутреннего двора — работает в пределах ограниченного стенами пространства, в которой можно построить только то, что позволяет песок, покрывающий землю. В этой геометрии через точку Р, не лежащую на прямой r, можно провести бесконечное число параллельных прямых (см. рисунок 4). Так, мы можем провести через Р прямые r', r", r'". Только r" пересекает r внутри двора. Но есть и другие — все прямые, находящиеся внутри угла с вершиной Р и со сторонами, образованными прямыми, исходящими из Р и доходящими до прямой r. Точки пересечения находятся на стенах двора, а не на земле — там их не существует. Следовательно, прямые r и r' не пересекаются и являются параллельными. Прямые, не находящиеся внутри угла с вершиной P, как и его стороны, параллельны r.

Графические построения в такой геометрии, сейчас называемой гиперболической, выглядят так, будто их сделали на седле (рисунок 5). На такой поверхности равносторонний треугольник принимает странный вид, а сумма его углов становится меньше 180°. Параллельные же прямые удаляются друг от друга до бесконечности (или, наоборот, сближаются).

РИС.З

РИС. 4

РИС. 5

Эту геометрию открыли в начале XIX века независимо друг от друга венгерский ученый Янош Бойяи (1802-1860) и русский математик Николай Лобачевский (1792-1856). Уже в 1823 году Лобачевский начал сомневаться в том, что евклидова геометрия единственно возможная, причем именно потому, что все попытки доказать единственность параллельной прямой, исходя из других постулатов Евклида, были напрасны.

В 1829 году появилась статья Лобачевского «О началах геометрии», легшая в основу так называемой неевклидовой геометрии. В ней изложены принципы первой геометрии, построенной на гипотезе, противоречащей пятому постулату Евклида: через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести более одной параллельной прямой, лежащей в плоскости АВС и не пересекающей АВ. На основе этого переформулированного постулата Лобачевский создал гармоничную и непротиворечивую геометрию.

До сих пор не было дано никакого строгого доказательства его правоты.

Николай Лобачевский о пятом постулате в 1823 году

Тем не менее авторитет Евклида и «Начал» в математическом мире был так высок, что Лобачевский решил не придавать большого значения новой геометрии и в первые годы чуть ли не стыдясь называл ее «воображаемой». За 20 лет, между 1835 и 1855 годами, он по меньшей мере три раза пересматривал свою новую систему. Шотландский писатель и математик Эрик Белл в своей знаменитой книге «Творцы математики» (1937) писал:

«В течение 2200 лет в некотором смысле верилось, что Евклид своей системой геометрии открыл абсолютную истину или необходимый способ человеческого познания. Созданное Лобачевским было настоятельным доказательством ошибочности этого верования. Смелость этого вызова и порожденный им успех вдохновили математиков и ученых вообще бросить вызов другим «аксиомам» или принятым «истинам» (например, «принципу» причинности), которые в течение столетий казались так же необходимыми для направления мышления, как постулат Евклида, до того как Лобачевский отбросил его.