У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.
Шрифт:
В школе Курт был блестящим учеником. Естественно, он преуспевал в математике и языках. Даже сегодня многие из тех, кто живет в Восточной Европе, хотя бы знают немного языки своих соседей: чешский, немецкий, несколько слов по-русски и так далее. Гёдель, считавший немецкий язык родным, не был исключением, но даже в этой многоязычной среде его страсть и способность к языкам были выдающимися. С юности он в совершенстве говорил и писал по-английски и по-французски, а в последующие годы в его библиотеке всегда было большое количество словарей и грамматик различных языков.
Когда Гёделю было шесть лет, он перенес ревматическую лихорадку, из-за
Через много лет брат Рудольф говорил, что этот кризис стал причиной глубокой ипохондрии — одной из самых заметных черт личности Курта. Возможно, именно страх перед болезнями всю жизнь вызывал у Гёделя многочисленные недомогания, из-за которых он неделями находился в угнетенном состоянии и вынужден был прерывать любую интеллектуальную деятельность.
В 1912 году, когда шестилетний Курт, еще ничего не знавший о логике, переживал первую серьезную болезнь, математика как наука также находилась в кризисе. И хотя на тот момент Гёдель еще даже не подозревал об этом, ему было предназначено решительно проявить себя в решении этой проблемы.
Кризис, в котором находилась математика в 1912 году, известный сегодня как кризис оснований, начался в 1902-м, за четыре года до рождения Гёделя, с очень короткого письма Бертрана Рассела своему коллеге немцу Готлобу Фреге.
Бесконечность всегда в возможности, а не в действительности.
Аристотель, «Метафизика»
Если не знать исторического контекста, невозможно понять, как письмо, уместившееся на одной странице, развязало спор, который длился потом более 25 лет. На самом деле письмо Рассела к Фреге было лишь камешком, который вызвал сход лавины, ждавшей в течение десятилетий. Исторический процесс, который привел к этому моменту, начался с эпохи Аристотеля, с появления понятия бесконечности — одного из самых странных, сложных и чудесных, созданных человеческой мыслью.
Что такое бесконечность? Что мы хотим сказать, когда утверждаем, что последовательность 1, 2, 3, 4, 5... бесконечна?
В IV веке до н. э. Аристотель утверждал, что мы можем ответить на этот вопрос двумя разными способами.
Чтобы представить себе первый способ, вообразим народ, которому было дано задание, передаваемое из поколения в поколение, — считать и записывать все числа последовательности 1,2,3,4,5... Смогут ли они когда-нибудь завершить эту работу? Нет, даже если посвятят этому заданию годы, десятилетия или тысячи миллионов веков. Каким бы ни было число, до которого дойдет счет, всегда можно дописать еще одно. Если они дошли до 100, есть 101, если дошли до 1000 — есть 1001, если дошли до квинтиллиона — есть квинтиллион плюс один. Они никогда не достигнут последнего числа, просто потому, что его не существует.
Однако заметим, что записи этого гипотетического народа никогда не будут содержать бесконечного количества чисел. Сначала они составят несколько сотен, потом — несколько тысяч, еще позже — несколько миллионов и триллионов чисел, но их количество всегда будет конечным (поскольку при наличии достаточного времени записанные числа можно будет полностью просмотреть от начала до конца). Бесконечность последовательности проявляется в непостижимой характеристике: она никогда не заканчивается, это будущее недостижимое свойство, а не черта, присутствующая в настоящем. Такой способ рассмотрения бесконечности Аристотель назвал потенциальной бесконечностью, или бесконечностью в возможности.
Второй способ представления бесконечности состоит в том, чтобы рассматривать ее как особенность, присутствующую в действительности. В этом случае мы должны думать не о народе, записывающем числа из поколения в поколение, а о сверхъестественном существе, которое записало их все — абсолютно все — в почти божественном акте доброй воли (при этом неправильно говорить, что оно записало их от начала до конца, потому что конца нет). Очень сложно, если не невозможно, постичь это. Способны ли мы представить себе нечто, что присутствует целиком, но никогда, абсолютно никогда не заканчивается? Невозможно показать реальные ситуации, в которых появляется бесконечность. Вся жизнь Вселенной, начиная с момента Большого взрыва, имеет только потенциально бесконечное количество секунд. Согласно действующим теориям.
Вселенная в целом включает конечное количество субатомных частиц. То ли потому что бесконечность действительно невообразима, то ли потому что ее не существует в физической реальности, то ли по другим философским причинам Аристотель утверждал: бесконечности в действительности (то есть актуальной бесконечности) не существует.
Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности.
Хорхе Луис Борхес. «Аватары черепахи», сборник «Обсуждение» (1932)
В течение столетий, до самого XIX века, этот отказ от актуальной бесконечности единодушно поддерживался западными философскими и математическими догмами. В Средние века схоластическая мысль усилила этот отказ, добавив к нему религиозное измерение. Актуальная (или категорематическая) бесконечность, согласно схоластикам, приписывается исключительно Божеству, и претендовать на то, что человеческий ум способен охватить или понять ее целиком, — ересь.
Приведем три случая, когда проявлялся отказ от актуальной бесконечности. Первый краток и ужасен: в 1600 году Джордано Бруно был приговорен к смерти на костре в том числе из-за утверждения в одной из своих работ, что Вселенная содержит бесконечное количество миров. Второй пример: в 1638 году Галилео Галилей выдвинул математический аргумент, который, согласно видению того времени, доказывал, что актуальная бесконечность — само по себе противоречивое понятие. В рассуждении, известном как парадокс Галилея, говорится так: задумаемся еще раз о последовательности 1, 2, 3, 4, 5... В ней содержится другая последовательность, образованная квадратными числами, то есть теми, которые получаются умножением числа само на себя: 1,4,9,16, 25...