Удивительные числа Фибоначчи
Шрифт:
Ерунда какая-то получается! Но мы ведь не сдадимся? Посмотрим на получившийся ряд: ноль, один, три, семь, пятнадцать. Каждое последующее число на единичку больше удвоенного текущего. Попробуем это исправить, и из утроенного текущего числа вычитаем не только удвоенное предыдущее, а еще единичку.
Единичку умножим на три, вычтем дважды ноль и вычтем единичку. Получим два. Два умножим на три, вычтем удвоенную единичку и вычтем единичку, как постоянно вычитаемое число. Получим три. Вроде получается. Но необходимо удостовериться! Утраиваем три, вычитаем удвоенное число два, и, как повелось, вычитаем единичку. Получим четыре. Можно и
Теперь, мы можем уже смело утверждать, что если умножить текущее число на четыре, и на пять, и на шесть, и вычитать предыдущее, умноженное на три, и на четыре, и на пять, соответственно, а затем вычитать каждый раз два, три, четыре, мы будем неизменно получать ряд натуральных чисел.
А также, можем к предыдущему числу прибавлять всякий раз число два. Проверим! К нулю прибавим два. Получим два. К единичке прибавим два. Получим три. К двум прибавим два. Получим четыре. К трем прибавим два получим пять. Как говорится, что и требовалось доказать!
Вот сколько способов образования ряда натуральных чисел мы рассмотрели.
Вполне можно предположить, что и ряд «Фибоначчи» тоже образуется по какому-то определенному правилу. Определив это правило, мы можем вычислять количество монет, которое будет на поле чудес в любой день.
Но, сначала давайте образуем числовой ряд по правилу: следующее число образуется как удвоенное текущее, из которого вычтено предыдущее и добавлена единичка. Как обычно, для начала, возьмем ноль и один.
Один умножить на два минус ноль и плюс один равно трем.
Три умножить на два минус один и плюс один равно шести.
Шесть умножить на два минус три и плюс один равно десяти.
Десять умножить на два минус шесть и плюс один равно пятнадцати.
Пятнадцать умножить на два минус десять и плюс один равно двадцати одному.
Ну, пока достаточно. Теперь мы видим ряд каких-то чисел, которые возрастают, но не так плавно, как ряд натуральных чисел. Если между двумя последовательными числами натурального ряда разность постоянно равна единице, то в этом, пока непонятном, ряду разность между соседними числами постоянно увеличивается. Давайте выпишем эти разницы.
Один минус ноль равно одному.
Три минус один равно двум.
Шесть минус три равно трем.
Десять минус шесть равно четырем.
Пятнадцать минус десять равно пяти.
Уже совершенно ясно, что получается ряд натуральных чисел!
Если любое число из натурального ряда является суммой того количества единичек, которое совпадает с порядковым номером этого числа в ряду, то, вполне возможно, что любое число из нашего, пока непонятного, ряда является накопительной суммой натуральных чисел до порядкового номера этого числа. Давайте сразу это проверим!
Один плюс два равно трем.
Один плюс два плюс три равно шести.
Один плюс два плюс три плюс четыре равно десяти.
Один плюс два плюс три плюс четыре плюс пять равно пятнадцати.
Ура! Наши предположения оказались верными!
Теперь, ради забавы вспомним, что многие жители западной части нашей планеты панически боятся числа шестьсот шестьдесят шесть. В чем же причина такого необъяснимого страха? Почему они не боятся, например, числа сто одиннадцать или девятьсот девяносто девять? Дело в том, что число шестьсот шестьдесят шесть — это сумма натуральных чисел от одного до тридцати шести. А тридцать шесть — это максимальный номер на рулетке, в которую так любят играть «прожигатели жизни». Тупость этих, иначе не скажешь, олухов, заключается в том, что они боятся обыкновенного безобидного числа, а вот в азартные игры, которые, всем без исключения, приносят только несчастья, с бараньим упорством, продолжают играть!
Чтобы проверить, что число шестьсот шестьдесят шесть является суммой чисел от одного до тридцати шести, вовсе не обязательно складывать все эти числа, как, непременно, но очень быстро, сделал бы компьютерный процессор, можно умножить число тридцать шесть на следующее число, то есть тридцать семь, и разделить результат на два. К слову число тридцать семь, а точнее утроенное число тридцать семь является основанием всех трехзначных чисел с одинаковыми цифрами.
Итак, мы нашли правило образования ряда накопительных сумм натуральных чисел. Но зачем нам это? Как мы можем применить этот ряд на практике? Дело в том, что накопительной суммой натуральных чисел определяется количество возможных попарных сочетаний из некоторого набора чисел. Это звучит достаточно витиевато, поэтому лучше привести пример.
Представьте, что у вас есть три тюбика с красками: красной, желтой, синей. Нужно узнать, сколько смешанных цветов мы получим, смешивая краски только по две, и только пополам? На этот вопрос мы легко дадим ответ перебирая возможные варианты. Красный с желтым. Желтый с синим. Синий с красным. Всего лишь три варианта. Результатами станут оранжевый, зеленый и фиолетовый цвета. Таким образом в радуге вовсе не семь, а шесть цветов! Три основных и три смешанных. Как же так? Ведь нам всегда говорили, что в радуге семь цветов. Мы даже учили поговорку «каждый охотник желает знать, где сидит фазан», чтобы выучить последовательность: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Дело в том, что описавший спектральное разложение белого света ученый Исаак Ньютон был весьма склонен к мистике, и считал число семь магическим. Поэтому и слукавил, назвав голубой и синий двумя разными цветами. А последующие ученые олухи не посмели перечить научному авторитету, и до сих пор вводят всех в заблуждение.
Что же касается составления возможных попарных сочетаний из большего количества исходных предметов, надежнее и быстрее умножить число исходных предметов на число меньшее на единицу и разделить на два.
Например, учитель повел на экскурсию учеников в количестве восьми человек (не всех учеников заинтересовала эта экскурсия). Нужно разместить всех заинтересованных в ряд по два. Главное — замыкающая ряд пара! Не важно мальчик с девочкой, мальчик с мальчиком или девочка с девочкой. Сколько есть вариантов? Не будем заморачиваться, и умножим восемь на семь и разделим на два. Получим двадцать восемь! Согласитесь, что вычислить это вручную было бы весьма затруднительно!
Ну, а теперь, пора вернуться к ряду «Фибоначчи».
Первое число — один. Второе число — один. Третье число — два. Четвертое число — три. Пока смущают только две единицы в начале, а так вроде бы нормальное возрастание. Однако, продолжим! Пятое число — пять. Шестое число — восемь. Седьмое число мы пока не знаем, но, обязательно узнаем, если поймем закономерность. А есть ли она, эта закономерность? Закономерность есть всегда, когда задано какое-либо правило развития! Поэтому закономерность точно есть, только сложно ли будет ее обнаружить?