Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Строгац Стивен

Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана [31] , хотя он сам неплохо считал устно.

Работая в Лос-Аламосе [32] , я убедился, что Ганс Бете [33] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:

31

Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики.

В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

32

Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).

Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.

33

Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

— Это будет равняться 2300.

Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:

— Если вам нужен точный ответ, то 2304.

Калькулятор тоже выдал 2304.

— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.

— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.

Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)² = 2500 + 100x + х². Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 — 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х.

Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 x 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.

Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок [34] . Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50 % в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50 %. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25 %. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчете 50 % потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50 % прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25 % потерь.

34

Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 — x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.

На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме, даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества

(1 — х) (1 + х) = 1 — x².

В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 — x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 — х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 — x².

Дело в том, что это выражение для любого х, отличного от 0, всегда

меньше 1. Следовательно, вы никогда полностью не компенсируете своих потерь.

Само собой разумеется, что не все соотношения между переменными так же просты, как рассмотренные нами. Тем не менее привлекательность алгебры соблазнительна, а в наивных руках она создает такие глупости, как формулу для социально приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях [35] . На некоторых сайтах в интернете сказано: если ваш возраст х, то светское общество не одобрит вашу связь с партнером, если его возраст меньше чем х/2 + 7 лет.

35

«Ваш возраст, деленный на два, и плюс семь», — эта формула называется стандартом приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях. Ее можно найти по ссылке http://xkcd.com/314/.

Иными словами, если 82-летний мужчина встречается с 48-летней женщиной, даже если она не замужем, это достойно осуждения. А если ему только 81? Тогда ничего страшного!

8. В поиске своих корней

Более 2500 лет математики мучились над решениями уравнений относительно х. Путь поиска решений [36] , то есть нахождения корней этих уравнений, для все более и более сложных уравнений стал одним из великих эпосов в истории человеческой мысли.

36

О поиске решений более сложных уравнений, от квадратных до уравнений пятого порядка, ярко и подробно рассказывается в книге M. Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Simon and Schuster, 2005).

Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М.: Резольвента, 2010.

Одна из первых подобных задач поставила в тупик граждан Делоса [37] примерно в 430 году до н. э. Отчаявшись предотвратить распространение чумы, они, по совету Дельфийского оракула, вознамерились увеличить объем кубического алтаря бога Аполлона в 2 раза. К сожалению, оказалось, что удвоение объема куба [38] требует знания и умения извлекать кубический корень из 2. Посредством того ограниченного арсенала геометрических инструментов, который имелся в то время у греков (циркуль и линейка), решить эту задачу было невозможно.

37

Делос — остров в Эгейском море. Прим. ред.

38

Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.

Более поздние исследования подобных задач выявили еще одну неизбежно возникающую раздражающую мелочь: в процессе решения уравнений очень часто приходилось извлекать квадратные корни из отрицательных чисел [39] . Над этим еще довольно долго смеялись, как над чем-то ложным и софистическим.

Математики почти до 1700-х годов отрицали возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, поскольку те не могли быть положительными числами, так как положительное число, умноженное на положительное, всегда дает положительное. А мы ищем числа, квадраты которых отрицательные. Они не могли быть и отрицательными числами, так как отрицательное число, умноженное на отрицательное, опять же дает положительное. Казалось, не было никакой надежды на получение числа, которое при умножении на себя даст отрицательное число.

39

Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).

Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М.: МЦНМО, 2002.

Здесь мы опять наблюдаем очередной кризис. Они неизменно возникают в математике в случае, когда уже существующие операции пытаются применять в числовых областях, где применить их уже нельзя. Так, вычитание больших чисел из меньших породило отрицательные числа (см. главу 3), а деление породило дроби (см. главу 5), необходимость извлекать квадратные корни в конечном итоге вынудила вновь расширить вселенную чисел.

Исторически так сложилось, что этот шаг был самым болезненным. Квадратный корень из –1 до сих пор носит унизительное название «мнимый».