Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Удовольствие от X.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:

Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.

Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в раз больше диаметра, то ее половина в раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что r — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально

была радиусом окружности.

Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.

Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину r, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.

По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.

В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна r, а высота — r.

Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение r и r дает площадь прямоугольника, равную r2. А так как у преобразованной фигуры такая же площадь, как и у исходного круга, то полученное значение является также и площадью круга!

В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она становится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисление бесконечно малых в своем лучшем проявлении.

Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к . Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваивал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он методично ограничивал , поместив круг между вписанными и описанными многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.

Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что

В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что находится между 3,1408 и 3,1429.

Этот метод известен как метод исчерпывания [78] , быть может, потому что неизвестные значения числа загоняются между двумя известными числами, сжимающими его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа .

В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к . К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее [79] . В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.

78

Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.

79

Все, кто интересуется героическими вычислениями до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее

книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008).

Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа [80] . Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.

Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.

80

Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3rd edition, Cambridge University Press, 2007.

Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

И нет предела тому, где это можно применить.

Часть IV. Время перемен

17. Перемены, в которые мы можем поверить [81]

До того как я узнал, что такое исчисление [82] , я думал, что это что-то необыкновенное. Мой папа говорил о нем с благоговением. Будучи ребенком Великой депрессии, он не смог пойти учиться в колледж, но, возможно, во время пребывания в южной части Тихого океана, ремонтируя двигатели бомбардировщика B-24, он ощутил, на что способно исчисление. Представьте себе несколько зениток с механическим управлением, ведущих автоматический огонь по заходящим на цель истребителям врага. Отец знал, что исчисление здесь использовалось для прицеливания орудий.

81

«Перемены, в которые мы можем поверить» (англ. Change We Can Believe In) — лозунг предвыборной кампании Барака Обамы. Прим. перев.

82

В русском языке слово «исчисление» без соответствующих прилагательных почти не применяется, а с прилагательными это интегральное и дифференциальное исчисление или исчисление бесконечно малых. Вместе с тем в большинстве словарей исчисление определяется как формальный аппарат, система правил оперирования со знаками. В английском языке слово calculus (исчисление) понимается именно в таком расширенном толковании как «система правил…». Если у кого-то из читателей слово «исчисление» (без прилагательных) будет вызывать удивление или неприятие, то его можно мысленно заменять на «математический анализ». В данной главе при упоминании исчисления в основном подразумевается дифференциальное исчисление. Прим. ред.

Каждый год около миллиона американских студентов проходят курс исчисления [83] . Но мало кто из них действительно понимает, о чем вообще этот курс, или может объяснить, зачем он нужен. Это не их вина. В этом курсе изучается так много методов, которые следует освоить, и так много новых идей, которые необходимо впитать, что легко пропустить общие положения.

Исчисление функций и интегралов [84] — это математика перемен. Она описывает все — от распространения эпидемий до зигзагов крученого мяча в бейсболе. Этот предмет охватывает большой объем материала, и учебники по размеру соответствующие. Многие превышают тысячу страниц, и работать с ними так же приятно, как открывать дверь с дверной пружиной.

83

См. M. Bressoud, The crisis of calculus, Mathematical Association of America (April 2007), доступно на http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html.

84

То есть дифференциальное и интегральное исчисление. Прим. ред.

Но в этом объемистом фолианте вы обнаружите две идеи, просвечивающие сквозь толщу материала. Все остальное, как любил повторять золотое правило рабби Гиллель, просто комментарии. Эти две идеи — производная и интеграл. Каждая доминирует в своей области исчислений, названных в их честь: дифференциальное и интегральное исчисления.

Грубо говоря, производная расскажет вам, как быстро что-то меняется, а интеграл — сколько это «что-то» накопит. Они родились в разное время и в разных местах: интегралы в Греции около 250 года до н. э., производные — в Англии и Германии в середине XVII века. Тем не менее (поворот в духе романов Диккенса) они оказались кровными родственниками, хотя ученым и потребовалось более двух тысячелетий, чтобы заметить это родство.

Поделиться:
Популярные книги

Игра на чужом поле

Иванов Дмитрий
14. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.50
рейтинг книги
Игра на чужом поле

Сыночек в награду. Подари мне любовь

Лесневская Вероника
1. Суровые отцы
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Сыночек в награду. Подари мне любовь

Невеста клана

Шах Ольга
Фантастика:
попаданцы
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Невеста клана

70 Рублей - 2. Здравствуй S-T-I-K-S

Кожевников Павел
Вселенная S-T-I-K-S
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
70 Рублей - 2. Здравствуй S-T-I-K-S

Измена

Рей Полина
Любовные романы:
современные любовные романы
5.38
рейтинг книги
Измена

Сирота

Ланцов Михаил Алексеевич
1. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.71
рейтинг книги
Сирота

Эволюционер из трущоб. Том 2

Панарин Антон
2. Эволюционер из трущоб
Фантастика:
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Эволюционер из трущоб. Том 2

Законы рода

Flow Ascold
1. Граф Берестьев
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Законы рода

Штуцер и тесак

Дроздов Анатолий Федорович
1. Штуцер и тесак
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.78
рейтинг книги
Штуцер и тесак

Идеальный мир для Социопата

Сапфир Олег
1. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
постапокалипсис
6.17
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата

Сумеречный Стрелок 5

Карелин Сергей Витальевич
5. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный Стрелок 5

Мое ускорение

Иванов Дмитрий
5. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.33
рейтинг книги
Мое ускорение

Метаморфозы Катрин

Ром Полина
Фантастика:
фэнтези
8.26
рейтинг книги
Метаморфозы Катрин

Спасите меня, Кацураги-сан! Том 2

Аржанов Алексей
2. Токийский лекарь
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
дорама
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Спасите меня, Кацураги-сан! Том 2