Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса
Шрифт:
Табличка YBC 7289 с клинописными числами
Увлечение математиков формами имеет долгую историю. Даже на вавилонских табличках мы находим диаграммы. Например, на табличке с регистрационным номером YBC 7289 есть квадрат с двумя диагоналями. Его стороны отмечены клинописными символами, означающими 30. Выше на одной из диагоналей стоит 1;24,51,10, а под нею 42;25,35, которое равно произведению первого числа на 30, а также длине этой диагонали. Таким образом, 1;24,51,10 – длина диагонали меньшего квадрата со стороной, равной единице. Теорема Пифагора утверждает, что она равна корню квадратному из 2, и мы обозначаем
Первая систематизация с использованием схем, ограниченным применением символов и изрядной долей логики встречается в описании геометрии Евклидом. Он следовал традиции, восходящей к культу Пифагора, чей расцвет пришелся на 500 г. до н. э. Однако Евклид настаивал, что любое положение математики должно иметь логическое доказательство для признания его достоверности. В записях Евклида есть важное нововведение – использование в доказательствах рисунков и логических построений. И многие века слово «геометрия» тесно ассоциировалось с этим подходом.
В этой главе мы проследим историю геометрии от Пифагора через Евклида и его предшественника Евдокса до позднего периода греческого классицизма, вплоть до его «наследников» Архимеда и Аполлония. Эти ранние геометры проложили путь для всех дальнейших работ с наглядными суждениями в математике. Также они установили стандарты логического доказательства, сохранившиеся неизменными на протяжении тысячелетий.
Пифагор
Сегодня мы принимаем как должное то, что математика дает нам ключи к законам существования природы. Первые систематизированные записи об этом пришли к нам от пифагорейцев – приверженцев мистического культа, датируемого промежутком между 600 и 400 гг. до н. э. Его основатель Пифагор родился около 569 г. до н. э. на Самосе. Место и дата его смерти покрыты мраком, но в 460 г. до н. э. основанный им культ подвергся нападкам и искоренению, а тайные места сборищ были уничтожены. В одном из них, доме Мило в Кротоне, более 50 захваченных пифагорейцев вырезали на месте. Многие из выживших сбежали в Фивы в Верхнем Египте. Не исключено, что одним из этих людей был сам Пифагор. Но даже если это всего лишь красивая выдумка, мы практически ничего не знаем о Пифагоре наверняка. Имя его у всех на слуху, главным образом из-за знаменитой теоремы о прямоугольном треугольнике, но мы даже не уверены, доказал ли ее он сам.
Зато нам известно гораздо больше о философии и убеждениях пифагорейцев. Они понимали, что математика – не реальность, а абстрактная концепция. В то же время они верили, что эта абстракция как-то воплощается в «идеальной» концепции, существуя в некоем странном воображаемом мире. То есть, например, нарисованный палочкой на песке круг – безуспешная попытка круга стать идеальным, совершенно ровным и невообразимо тонким.
Самым важным аспектом философии пифагорейцев была идея, что в основе всего лежат числа. Они выражали свою веру с помощью мифологических символов и подкрепляли ее практическими наблюдениями. В мистическом плане они считали, что число 1 – первичный источник всего во Вселенной. Числа 2 и 3 символизируют женское и мужское начала. Число 4 – символ гармонии, а также четырех стихий (земля, воздух, огонь и вода), из которых сотворено всё сущее. Пифагорейцы придавали особое мистическое значение числу 10, потому что 10 = 1 + 2 + 3 + 4 и объединяет в себе первичную единицу, женское начало, мужское начало и четыре стихии. Более того, эти числа образуют треугольник, а вся геометрия Древней Греции построена на свойствах треугольников.
Число 10 в виде треугольника
Главным доказательством своей концепции Вселенной чисел пифагорейцы считали музыку: они обнаружили ряд поразительных связей между гармонией звуков и простыми дробями. В результате несложных экспериментов они открыли, что если натянутая струна издает определенный звук, то вместе со струной вдвое меньшей длины она будет издавать гармоничные созвучия, которые сейчас называют октавой. Струна длиной в 2/3
Сегодня эти числовые аспекты музыки относят к физике колебания струн, которые служат основой для теории волн. Количество волн, помещающихся в заданной длине струны, является целым числом, и эти числа образуют простые соотношения. Если они не укладываются в простую пропорцию, соседние звуки накладываются друг на друга, создавая несогласованные «биения», неприятные для слуха. На самом деле всё намного сложнее и включает особенности восприятия нашего мозга, но в любом случае мы видим физическое обоснование открытия пифагорейцев.
Пифагорейцы говорили о существовании девяти небесных тел: Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн плюс центральный огонь, отличный от Солнца. В их космологии числу 10 придавалось столь серьезное сакральное значение, что они включили в эту систему Антихтон (Антиземля, Противоземля) – загадочную планету, скрытую от нас Солнцем.
Это две подобные формы
Как мы уже знаем, целые числа 1, 2, 3 и т. д. естественно приводят нас ко второму виду чисел – дробям. Математики называют их рациональными числами. Это дроби вида a/b, где a и b – целые числа (также b не равно 0, иначе вся дробь не имеет смысла). Дроби могут делить целые числа на сколь угодно малые части, а значит, длину стороны геометрической фигуры можно аппроксимировать настолько близко, насколько мы пожелаем, с помощью рациональных чисел. Кажется вполне естественным, что можно в точности разделить число так, чтобы все длины были рациональными.
Если бы это было возможно, геометрия стала бы намного проще: два любых отрезка можно было бы представить целыми числами, кратными длине небольшого отрезка, и так получить их общую длину, сложив множество копий таких отрезков. Кому-то это может показаться неважным, но мы значительно упростили бы понимание теории длин, площадей и особенно подобия фигур (которые имеют одинаковую форму, но разный размер). С помощью схем, сформированных из бесконечного множества копий одной и той же базовой формы, можно доказать что угодно.
К несчастью, этой мечте не суждено было осуществиться. По легенде, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта, обнаружил, что это утверждение ошибочно. В частности, он доказал, что диагональ единичного квадрата (квадрата со стороной, равной одной единице), иррациональна, не является дробью. Известно (хоть это и непроверенные данные, но отличная история), что он оплошал, озвучив этот факт, когда пифагорейцы пересекали на лодке Средиземное море. Его «товарищи по цеху» пришли в такое негодование, что вышвырнули его за борт, и он утонул. Но, скорее всего, дело ограничилось его отлучением от братства. Каким бы ни было наказание, оно явно говорит о том, что его открытие не привело пифагорейцев в восторг.
Современное толкование наблюдений Гиппаса состоит в том, что 2 – иррациональное число. На взгляд пифагорейцев, этот факт был ударом в спину их беззаветной вере в то, что корни Вселенной уходят в числа – целые. Дроби – отношения целых чисел – еще кое-как вписывались в это мировоззрение, но для чисел, которые доказуемо не являлись дробями, здесь места не было. Вот и вышло, что утопленный или отлученный бедняга Гиппас стал первой жертвой иррациональности – или, скорее, религиозных убеждений.
Укрощение иррациональности
Но греки всё же нашли способ справиться с иррациональностью – благодаря тому, что любое иррациональное число можно аппроксимировать рациональным. Чем точнее приближение, тем сложнее рациональное число, и всегда остается некоторая погрешность. Делая ее всё меньше, мы получаем возможность изучать свойства иррациональных чисел, исследуя аналогичные свойства ближайших к ним рациональных. Проблема в том, чтобы поставить эту идею на те рельсы, которые были бы совместимы с подходом греков к геометрии и доказательствам. Это оказалось выполнимой, но сложной задачей.