УРОЖАИ И ПОСЕВЫ
Шрифт:
Вместо того чтобы дать сбить себя с толку окружавшим меня законодательным соглашениям о том, что серьезно и что нет, я просто доверился, как раньше, тихому голосу вещей, уже звучавшему во мне: ведь я умел прислушаться. Награда не заставила себя ждать, превзойдя всяческие ожидания. В течение этих нескольких месяцев, совсем даже не «нарочно», я нашел инструменты мощные и несомненные в своей эффективности. Они дали мне возможность не только вновь получить (играючи) старые результаты, знаменитые своей сложностью, в более резком свете и их превзойти, но также, приблизившись наконец вплотную, разрешить проблемы «геометрии в характеристике р», которые до тех пор казались вне пределов досягаемости любыми средствами, тогда известными{43}.
В процессе нашего познания законов Вселенной (математических
Эта власть - отнюдь не особый «дар», как, скажем, исключительная способность рассудка усваивать и управляться легко и ловко с впечатляющей массой известных фактов, идей и технических приемов. Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро - «сверх всякой меры».
Все же не эти дары, и не честолюбие даже самое пылкое, поддержанное непреклонной волей к успеху, позволяют перешагнуть «круги невидимые, но властные», ограждающие Вселенную. Только невинность сумеет их преодолеть, сама того не заметив и не слишком о том заботясь, в минуты, когда мы, с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаемся во власть этой младенческой игры целиком…
12. Новаторская идея схемы, как мы уже знаем, дала возможность связать между собой различные «геометрии», соответствующие различным простым числам (или различным «характеристикам»). Каждая из этих геометрий оставалась все еще существенно «дискретной», или «разрывной» по контрасту с традиционной геометрией, доставшейся нам в наследство от прошедших веков (начиная с Евклида). Новые идеи, введенные Зарисским и Серром, вернули в какой-то степени этим геометриям «непрерывное измерение», сразу же перехваченное «теоретико-схемной геометрией», пришедшей с целью их объединить. Но если говорить о «невероятных гипотезах» (Вейля), то до их подтверждения было еще очень далеко. «Топологии Зарисского» были с этой точки зрения настолько грубы, что оставались почти что на уровне «дискретных скоплений». Недоставало, очевидно, какого-то нового принципа, который позволил бы связать эти геометрические объекты (или «многообразия», или «схемы») с привычными («благонадежными») топологическими «пространствами»; скажем, такими, в которых «точки» отчетливо изолированы друг от друга, в то время как в пространствах-без-стыда-и-совести, введенных Зарисским, точки имеют досадную склонность склеиваться между собой…
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Решительно, только появление «нового принципа», никак не меньше, могло устроить, чтобы «брачный союз числа и величины (размера)», или «геометрии разрывного» с «геометрией непрерывного» совершился - как то сулило некое предчувствие, впервые давшее о себе знать языком гипотез Вейля.
Понятие «пространства», без сомнения, одно из самых древних в математике. Оно является до такой степени основополагающим для нашего «геометрического» понимания мира, что принималось на веру, практически не требуя описаний, в течение более чем двух тысяч лет. И лишь в прошлом веке понятие это постепенно освободилось из-под тирании непосредственного восприятия (как единственно пространства, нас окружающего) и связанных с ним традиционных (евклидовых) теоретических разработок, чтобы обрести теперь уже свои собственные динамику и независимость. В наши дни оно входит в число понятий, наиболее часто и повсеместно используемых в математике, безусловно известных всем математикам без исключения. Понятие, впрочем, изменчивое, не поспоришь; у него сотни, тысячи обликов, в зависимости от того, какую структуру ему придать. Есть из них богатейшие (как почтенные «евклидовы» структуры, или «аффинные», или «проективные», или еще «алгебраические» структуры одноименных «многообразий»; эти обобщают все предыдущие, придавая им гибкость), есть аскетически строгие. Последние таковы, что всякий элемент информации «качественной» из них словно бы исчез безвозвратно, и присутствует лишь намек на количественную сущность понятия близости, или предела{44}, и наличествует лишь вернее
Как ни неуловима могла казаться сначала структура «чистого качества», воплощенная в «пространстве» (называемом «топологическим»), при отсутствии каких бы то ни было данных количественной природы (как расстояние между двумя точками, в частности), которые дали бы нам возможность уцепиться за сколько-нибудь привычное интуитивное представление о «величине», или «малости», - в течение минувшего века удалось наконец загнать эти пространства в плотные и гибкие ячейки языка, тщательно «скроенного из кусочков»
.
Более того, изобрели и изготовили целиком эталоны «метра», или «сажени», именно затем, чтобы, всему наперекор, навязать что-то вроде «мер» (названных «топологическими инвариантами») этим пространствам-спрутам, которые, подобно неуловимым призрачным городам, казалось, ускользали при всякой попытке нанести их на карту с масштабом. Правда, основная часть этих инвариантов, притом самых существенных, более тонкой природы, чем просто «число», или «величина». Скорее, они сами представляют собой более или менее прихотливые структуры, привязанные (посредством конструкций той или иной степени сложности) к пространству, о котором идет речь. Один из самых давних и важнейших таких инвариантов, введенный еще в предыдущем столетии (итальянским математиком Бетти), образован различными «группами» (или «линейными пространствами») - так называемыми «когомологиями», соответствующими данному пространству{45}. Это они
Есть много других «топологических инвариантов», введенных топологами, чтобы подступиться к того или иного рода свойствам топологических пространств. Если не говорить о «размерности» пространства и (ко)гомологических инвариантах, первые из числа прочих инвариантов - «гомотопические группы». Я ввел новый инвариант в 1957 г.: группу К{Х) (так называемую «группу Гротендика»), которой сразу же посчастливилось получить признание и чья значимость (как для топологии, так и в арифметике) не устает подтверждаться снова и снова.
Множество новых инвариантов, по своей природе изощренней тех, что в наше время известны и используются, но по моему ощущению совершенно фундаментальных, намечено в моей программе по «ручной топологии» (ее краткий обзор включен в «Набросок Программы», который войдет в четвертый том «Раздумий»). Эта программа основывается на понятии «ручной теории», или «ручного пространства», которое представляет собой, в чем-то как и понятие топоса, (вторую) «мета-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
подают голос (правда, в основном «между строк») в гипотезах Вейля, являясь для них глубоким «оправданием бытия» и придавая им (по крайней мере для меня, «впутанного в это дело» объяснениями Серра) полный их смысл. Но возможность связать эти инварианты с «абстрактными» алгебраическими многообразиями, о которых шла речь в этих гипотезах, способом в точности отвечающим прозвучавшим там требованиям, оставалась не более чем надеждой. Сомневаюсь, что кто-либо помимо Серра и меня самого (даже - ив первую очередь - лично Андрэ Вейль!){46} мог в нее верить…
Незадолго до этого наше представление об этих инвариантах оказалось значительно обогащенным и обновленным работами Жана Лерэ (написанными в плену в Германии, во время войны, в первой половине сороковых). Существенно новаторской была идея пучка (абелева)
морфозу понятия пространства». Оно намного прозрачнее (как мне кажется) и не такое глубокое, как это последнее. Я, однако, предвижу, что его воздействие на топологию «собственно говоря» определенно должно быть еще значительней, и что благодаря ему «ремесло» геометра-тополога изменится целиком, сверху донизу - путем глубокого преобразования концептуального контекста, в котором он работает. (Как это уже случилось с алгебраической геометрией после введения точки зрения теоретико-схемной.) Я послал свой «Набросок» нескольким старым друзьям и известным топологам, но непохоже, чтобы содержание их сколько-нибудь заинтересовало …