В погоне за красотой

Смилга Вольдемар Петрович

3. Если сумма углов треугольника равна , справедлив постулат Евклида. Вообще говоря, если принять первые два утверждения, то эквивалентность сразу можно доказать с помощью «нашей» теоремы. Предоставляю читателям самостоятельно проверить это утверждение. Кстати, можно признаться, что примерно так и доказывал Лежандр. Остается получить только одно:

4. Сумма углов треугольника не может быть меньше .

Только это! И пятый постулат доказан.

И Лежандр решает эту задачу.

Доказательство Лежандра великолепно.

Оно изящно. Просто. Неожиданно.

В нем есть все, что

восхищает нас в математике. Кроме одного.

Оно неверно.

Но внимания оно заслуживает.

Метод — снова доказательство от противного. Перед нами ABC. С него мы начинаем. Он главный. И сумма его углов по предположению равна ( – ).

Стороны угла A мы продолжим до бесконечности. Это понадобится в дальнейшем.

Теперь — вспомогательное построение.

На стороне BC строим еще один точно такой же треугольник. Он виден на чертеже — это BCD.

Построили мы его так, что сторона BD = AC, а сторона CD = AB. Легко убедиться, что сделать это всегда возможно. И теория параллельных пока никак не вмешивается в наши рассуждения. Теперь из точки D проведем какую-либо прямую. К ней предъявляется единственное требование. Она должна пересечь обе стороны угла А. Вроде бы очевидно, что можно найти не одну, а много прямых, удовлетворяющих этому условию.

Остановимся.

Все. Задача решена. Пятый постулат уже доказан. Остальное дело очень несложной техники. Посмотрите на чертеж. Сумма углов в треугольнике CDF и BED непременно меньше . Действительно, теорема 1 запрещает ей быть больше , а теорема 2 плюс существование ABC исключают возможность быть равной .

Насколько меньше, нам совершенно неважно. Более того, на самом деле нам нужно только одно: сумма углов в этих треугольниках не должна превышать . Теперь остались мелочи. Посмотрим на большой AEF. И найдем сумму его углов. Проделаем это несколько окольным путем.

Всего у нас четыре маленьких треугольника. Сумма всех их углов равна: 2( – ) + ( – ) + ( – ) = 4 – 2 – – .

Теперь обратим внимание на то, что эту же сумму можно записать несколько по-другому. Из углов наших маленьких треугольников у точек С, В и D организуются три угла, равные каждый. Остаются еще углы у вершин A, E и F. Но сумма этих углов и есть сумма углов AEF.

Итак:

сумма углов AEF + 3 = 4 – 2 – – .

И потому:

сумма углов AEF + 3 = 4 – 2 – – .

Теперь начинается цепная реакция. Дословно повторив все наше построение для AEF, построим треугольник с суммой углов меньше, чем ( – 4). Далее, построим треугольник с суммой углов меньше, чем ( – 8). Короче, как бы ни было мало , мы сможем построить такой треугольник, что сумма его углов отрицательна. Но это явный абсурд. Наше предположение привело к нелепости. Теорема доказана. Сумма углов треугольника не может быть меньше . Доказательство действительно прекрасно. Для профессионала его можно записать на трех строчках. В дополнительных построениях всего две операции.

Но… предположить, что через точку внутри угла всегда можно провести прямую, встречающую обе его стороны, означает, что вместо пятого постулата мы вводим его эквивалент. И Лежандр понимает это. Но от столь красивого решения отказываться жаль. И уже совсем по-человечески он несколько жалобно объясняет, что за <A выбран тот из углов, что меньше 60°(/₃). Тогда легче поверить в его предпосылку. Поверить действительно легче. Но дела это не меняет. Доказать это утверждение без помощи пятого постулата нельзя. И в итоге Лежандр отказался от своего доказательства.

Более того.

Пусть <A произвольно мал. Меньше любого наперед заданного числа. Меньше, например,

секунды. Даже в этом случае нельзя доказать предположение Лежандра. Если бы это было возможно, сразу был бы доказан пятый постулат. Для точек внутри угла, достаточно близких к вершине, гипотезу Лежандра, конечно, можно доказать строго. Но только для близких. А при нашем построении, чтобы получить противоречие, надо все дальше уходить от вершины.

Если продолжить анализ на пути Лежандра, то на свет выплывает много забавных эквивалентов пятого постулата.

По существу, на этом пути можно получить много теорем неевклидовой геометрии. Для развлечения можно предложить такую задачу. Анализируя предпосылку Лежандра, показать: пусть <C — угол при вершине семейства равнобедренных треугольников: ACB, A'CB', A''CB'' и т. д.

Допустив, что в этом семействе всегда найдется треугольник с высотой, большей любого наперед заданного числа, мы докажем пятый постулат. Не правда ли, это довольно неожиданный, очень естественный на вид эквивалент «пятого»! Он довольно просто находится при анализе доказательства Лежандра. Несколько забегая вперед, отметим, что в геометрии Лобачевского правильна противоположная теорема.

Большинство прочих авторов не шли так далеко, как Лежандр. Они запутывались в самом начале.

Но были и более интересные работы.

В 1889 году итальянский геометр Бельтрами обнаружил забытую работу своего соотечественника иезуита Иеронима Саккери, который еще в 1733 году предвосхитил и превзошел все результаты Лежандра.

До этого времени считалось, что именно Лежандр показал:

1. Не прибегая к пятому постулату Евклида, при помощи остальных аксиом можно доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых, больше 180° (> ).