В погоне за красотой
Шрифт:
2. Если справедлив пятый постулат, то сумма углов хотя бы в одном треугольнике точно равна 180° (равна ).
Отсюда следовал вывод:
Если несправедлив пятый постулат, то сумма углов во всех треугольниках меньше 180° (< ).
Лежандру хотелось верить, что он опроверг и эту возможность, но… впрочем, мы уже говорили об этом.
Так вот оказалось, что Саккери получил все эти результаты значительно раньше. Более того, его исследование, цепочка его теорем тянется значительно дальше, чем у Лежандра. Правда, отправной пункт у него несколько другой. Он идет не от треугольника, а от четырехугольника, так же как несколько
Построение его таково.
1. Возьмем отрезок AB.
2. Из крайних точек А и В восстановим перпендикуляры и отложим на них отрезки AA'и BB' равной длины.
3. Соединим А' и B' прямой. Получим четырехугольник.
4. Возьмем середины оснований С и С' и соединим их прямой.
5. Возьмем «второй тождественный экземпляр» четырехугольника АА'ВВ' четырехугольник А1А1'В1В1' и наложим его на первый так, чтобы сторона В1В1' легла на сторону AA'.
Тогда легко доказать, что угол А' равен углу B', а прямая CC' перпендикулярна к обоим основаниям. Читатели сами могут докончить строгое доказательство этой теоремы, могут также получить этот результат и несколько по-другому, использовав соображения симметрии.
Для угла А' и B' есть три возможности:
1. Они равны 90°(= /2);
2. Они острые, то есть меньше 90°(< /2);
3. Они тупые, то есть больше 90°(> /2).
Саккери показывает прежде всего, что если любая возможность осуществилась в одном каком-то четырехугольнике, то она осуществится и во всех возможных четырехугольниках такого типа.
Далее он доказывает, что:
1. Если справедлива «гипотеза тупого угла», то сумма углов любого треугольника больше .
2. Если справедлива «гипотеза прямого угла», то сумма треугольника равна .
3. Если справедлива «гипотеза острого угла», то сумма углов треугольника меньше .
Далее он доказывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.
Следовательно, чтобы доказать пятый постулат, нужно отвергнуть две другие гипотезы.
С «гипотезой
Остается «гипотеза острого угла». И здесь оказывается, что все предыдущее только присказка, сказка впереди.
Почти на ста страницах Саккери разбирает следствия этой поистине сатанинской «гипотезы острого угла».
Он получает теоремы одна страннее другой, но отлично понимает до поры до времени, что внутреннего противоречия в них нет. Но вдруг ему мерещится: он нашел. И он объявляет решительно и безоговорочно: вот доказательство, вот божественная искра, испепеляющая эту гипотезу.
«Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии».
И здесь враг рода человеческого улавливает Иеронима Саккери. Он ошибается. Грубо ошибается.
Но нет, не будем спешить с выводами. Саккери еще не успокоен, он смутно чувствует какой-то подвох и заявляет:
«На этом я мог бы спокойно остановиться, но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит сама себе».
И игра начинается снова.
Саккери вновь ищет доказательства, но уже на ином пути.
Он доказывает, что если принять «гипотезу острого угла», то оказывается, что «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой линии, есть кривая линия».
Все это строго.
Обратите внимание, вывод, казалось бы, так нелеп, что можно остановиться.
Нет, Саккери отлично понимает, что этого еще недостаточно.
И здесь на секунду забудем о Саккери и вспомним о нашем досточтимом Гийас ад-Дине Абу-л-Фатхе Омаре ибн Ибрахиме ал-Хаййаме ан-Найсабури.
Пора выполнить наш долг и рассказать, что именно сделал он, доказывая пятый постулат.
Свое доказательство пятого постулата Хаййам начинает (как, впрочем, и все) с критики предшественников.
Он опровергает доказательства Герона, Евтокия, ал-Хазина, аш-Шанни ан-Найризи. Опровергает он также и Абу Али Ибн-ал-Хайсама, который шел весьма любопытным и оригинальным путем.
Али Ибн-ал-Хайсам начинает с гипотезы, что линия, описываемая верхним концом перпендикуляра данной длины при движении нижнего конца его по данной прямой, также есть прямая. (На чертеже изображены палочка с роликом и пунктирная прямая. Таким образом, автор пытается наглядно изобразить постулат Абу Али Ибн-ал-Хайсама.)
Сам Абу Али Ибн-ал-Хайсам пытался обосновать это утверждение, рассуждая о свойствах движения.
Как раз это и вызывает некоторое негодование Хаййама. Он атакует Абу Али за то, что тот вводит в геометрию движение. Тут Хаййам не прав.
Но и Абу Али тоже ошибался. Фактически он в своем доказательстве использовал постулат, эквивалентный Евклидову. А именно, его гипотеза эквивалентна постулату, уже известному нам: «геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, тоже прямая». Но он-то надеялся, что не постулировал, а доказал это.