Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
Шрифт:
По мнению Платона, после смерти души людей попадают как раз в Мир Идей. И чьим же душам лучше всего? Душам Мудрецов. Эталон истинного Мудреца обладает у Платона определенными качествами: бесконечная любовь к размышлениям, благожелательность, равнодушие к чувственным удовольствиям, внутреннее спокойствие и обязательное отсутствие страха смерти (ведь после смерти ты попадаешь в лучший мир – из Пещеры к Свету). Близко к идеям христиан, только содержит дополнительный интеллектуальный элемент (который не нужен христианам в их религии).
Платон считает, что любое знание – это припоминание. Душа человека вне кратких мигов своей земной жизни (как после нее, так и до нее – душа вечна-бесконечна) живет в Мире Идей. Таким образом,
В математике имя Платона присвоено одному примечательному объекту (точнее будет сказать, набору объектов) – Платоновым телам. Платоновы тела – это правильные многогранники. Вот правильных многоугольников бывает бесконечно много. Правильный треугольник (он же равносторонний), правильный четырехугольник (он же квадрат), правильный пятиугольник и далее любой правильный n–угольник (все они существуют). А вот правильных многогранников (т.е. таких объемных тел, у которых все ребра равны, все грани равны, все углы равны (как плоские, так и двугранные) – ну, короче, всех таких из себя правильных) таких многогранников существует всего-то пять штук!
Почему они названы именем Платона, не очень понятно. На самом деле, три из пяти правильных тел были точно известны еще Пифагору. А оставшиеся два открыл современник Платона математик Теэтет (и он же первый доказал, что их ровно пять, и больше не бывает). Теэтет открыл и доказал, а назвали именем Платона. Возможно потому, что Платон написал о них в своем диалоге "о природе" (а отсюда уже знание о них распространилось; художественную литературу все же читают намного чаще, чем специальную математическую). Может, это не честно, но уж как есть. Это называется "исторически сложилось".
Теэтет вообще был классный математик. Его еще называют создателем геометрической теории чисел. Например, он придумал, как геометрически показывать Алгоритм Евклида. Или доказал, что если квадратный корень (из целого числа) – не целое число, то и не рациональное тоже. (Это очень круто. Если вы знаете эту теорему Теэтета и, например, умеете доказывать, что , но при этом – вы доказали, что 101 – иррациональное число). Похоже, что и основную теорему арифметики (про то, что каждое число раскладывается в произведение простых, причем, однозначно), первым доказал тоже Теэтет! Вот такой был замечательный математик, а его имя почти кануло в летах. /*Вот признайтесь, правда ведь, что вы про Платона раньше знали, но думали, что он математик, а про Теэтета – даже не слышали? Хотя, возможно, вы сами математик, тогда вам простительно!*/
Представьте, насколько современную литературу писал для своего времени Платон? Открыли теорему о платоновых телах – он сразу их включил в свои "Диалоги". Причем, Платон всегда включал в свои диалоги математику очень по существу и со знанием дела. Однако же, сам математиком не был. Все-таки, он считал математику – путем к мудрости, но не ее вершиной. Частным случаем. Особенно ему не нравилось неистребимое желание математиков делить программу на подпрограммы (то есть, тьфу, великую, большую, красивую задачу на какие-то мелкие ничтожные подзадачи). Вершиной же всего-всего Платон считал еще более оторванные от реальности размышления – философию.
Лекция 6
.
Евклид. Начала.
Рисунок 6.1: Страница из первого печатного издания «Начал», 1482 год
Венцом древнегреческой математики считается книга, написанная Евклидом, под названием «Начала». Сейчас бы такую книгу назвали «Начала математики», «Начала геометрии», ну начала чего-то ведь! Но Евклид был скромным, и уточнять, Начала чего, не стал.
По количеству переизданий и выпущенных за всю историю копий, Начала Евклида не имеют себе равных среди светских (нерелигиозных) книг. Годом изобретения книгопечатания (в Европе) считается 1445 год и первым делом была напечатана, конечно, Библия (потом Псалмы и т.д.). Но первое издание «Начал» не заставило себя долго ждать, и вышло в 1482 году (это очень быстро!). Кстати сказать, до Библии массово печатались только две вещи: религиозные гравюры и игральные карты ))))
Так вот, тут есть некий исторический парадокс. «Начала» Евклида сохранились идеально! (они написаны примерно в 300 году до н.э. и до их первого печатного издания переписывались и переписывались от руки. Гуляли по странам, континентам и частям света, чтобы вновь вернуться в Европу – но текст исходных «Начал» при этом сохранился! (Плюс иногда добавлены ценные комментарии, но которые сами оформлены именно как комментарии). При том, что про книгу хорошо все известно, никто не знает, когда же жил ее автор, Евклид! И не только "когда", а вообще, про него очень-очень мало что известно. /*Как же хорошо, что с тех пор изобрели интернет! Теперь про всех всем всё известно.*/
Евклид жил в Александрии (территория современного Египта), и был очень книжным человеком. Малообщительным. Прокл в своем комментарии указывает, что Евклид должен был жить во времена Птолемея I (это египетский царь, а про царей гораздо лучше сохранилось все в истории, чем про ученых). Вот, собственно, это мы и знаем о Евклиде.
Комментарий Прокла, кстати, мы с вами уже упоминали (именно в нем возникает имя Фалеса как отца математики). Кроме того, в своем комментарии Прокл делает краткий экскурс в историю древнегреческой математики с момента возникновения (Фалеса) до момента написания книги.
В своих «Началах» Евклид постарался собрать всю известную на тот момент математику. По большей части ему это удалось. В «Началах» 13 книг. Первые 6 – это планиметрия. Затем четыре книги – арифметика и немного алгебра, которые излагаются по большей части на геометрическом языке. Последние три главы – стереометрия.
Если раньше мы уже говорили, что шумеры и египтяне занимались геометрией как прикладной арифметикой, то греки делают все совершенно наоборот. Всю арифметику, алгебру и теорию чисел стараются греки облечь в геометрическую формулировку. Например, как формулируется иррациональность числа ? Всегда только так: "диагональ квадрата несоизмерима с его стороной" (несоизмерима – это и означает, что никак с помощью стороны измерить нельзя. Не находится со стороной ни в какой приличной пропорции).
Вавилоняне ничтоже сумняшеся складывают площадь квадрата с его периметром. Греки никогда такой вольности не допустят, ведь площадь и периметр – это не числа для них, а разные сущности. Число греки не называют числом не потому, что не знают иррациональных чисел, а потому что в их определении под словом "число" подразумеваются только натуральные числа. Рациональные числа в их терминологии – "отношения (чисел)" (рацио). А иррациональные? Это странные сущности, не являющиеся рациями. Когда вавилоняне не могли найти точное значение, они заменяли его приближением – и на этом все. Греки всегда искали