Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
Шрифт:
Вавилоняне не делили числа. Когда надо было выполнить действие , они искали обратное к b и умножали его на a. Таблицы обратных чисел и таблицы умножения – доступны. Когда число не делилось нацело, пользовались его приближенными значениями. Например, это точное значение (здесь я в скобках записала одну вавилонянскую
60-ричную "цифру"). А это приближенное значение, но вполне хорошее приближение (, a . Погрешность менее 1%).
Что еще делали, кроме четырех основных арифметических операций? У вавилонян была таблица квадратных корней, таблица кубических корней, и (внезапно!) таблица корней уравнения x3+x=a.
Но самое интересное: у вавилонян явно появились первые алгоритмы. Например, алгоритм вычисления корня из любого числа.
Предположим, нам надо вычислить . Если первое приближение корня мы взяли a1, то (теоретически, если мы попали в цель) должно быть равно a1. На деле, эти числа разные (одно больше, другое меньше, чем ). И мы берем два числа a1 и и ищем между ними среднее арифметическое. Это второе приближение a2. Если оно опять не идеальное (т.е. разница между a2 и велика), можно также найти третье приближение и т.д.
Ясно, что где-то от 1 до 2, возьмем первое приближение . Тогда . И второе приближение числа Что уже очень близко к реальному значению . Третье приближение, полученное таким алгоритмом отличается от реального значения в 6 знаке после запятой! Отличный алгоритм.
Существовал у вавилонян и алгоритм для решения квадратных уравнений (в целом повторяющий известную нам формулу для их вычисления).
А что с геометрией? Геометрия у вавилонян – целиком прикладная алгебра. Иногда задачи (вроде бы геометрические) не носили никакого смысла. В них складывали площадь с периметром, диагональ с объемом и т.д.
Никаких доказательств или построений не было. Только приближенные вычисления. Однако же приближения были с высокой точностью. Поэтому несмотря на то, что правильных формул вавилоняне не знали, здания они строили крепкие (в том числе и знаменитые зиккураты, представляющие собой несколько усеченных пирамид, взгроможденных одна на другую).
Площадь круга считали как 3r2, длину окружности как 6r (т.е. считали ?=3).
Объемы призмы, цилиндра вычисляли умножая площадь основания на высоту (правильная формула). А вот формулу для вычисления, например, объема усеченной пирамиды использовали неправильную (полусумма площадей оснований на высоту).
Есть свидетельства того, что вавилоняне знали тот факт, что численно сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (т.е. теорему Пифагора). Но это не точно.
Итак, никаких доказательств в те древние времена еще не было. Никаких задач на построение тоже не было и в помине. Вавилоняне и египтяне занимались математикой практически параллельно, нет никаких свидетельств, что в те эпохи они каким-либо образом обменивались знаниями (обмен знаний начался позже, в эпоху господства Древней Греции). Доказательства существования вавилонянской математики несколько старше (от 2,5 тысяч лет до нашей эры), египетской чуть моложе (от 2 тысяч лет до н.э.). В решении разного рода вычислительных задач вавилоняне были куда круче египтян, но тем надо отдать должное: они придумали такую странную систему вычислений, что хоть стой, хоть падай. Однако, в геометрии точнее были египтяне.
Какие книги можно еще почитать.
К главе 2 про Древний Египет и Месопотамию.
[7]
Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит-ры, 1969.
/*Самая классная книга по истории математики античного периода. Сам автор – математик. В книге много математических подробностей. Как раз очень подходящая книга для всех, кому не хватает математических подробностей у меня.*/
[8]
В. Прасолов, История математики. Часть 1. – М.: МЦНМО, 2018.
/*Очень современная книга, которая пишется до сих пор. Это настоящий учебник, но Виктор Васильевич в принципе не умеет писать плохо и скучно. Вышла только первая часть (по-моему), но вообще у автора планов громадье, и книга публикуется в сети по мере ее написания.*/
[9]
О. Нейгебауэр, Точные науки в древности. – М., Наука, 1968.
/*Хорошая книга, но намного более устаревшая, чем Ван дер Варден. Мне пришлось ее прочитать, когда я в свое время готовилась к курсу лекций, но, по-моему, [7] хватает.*/
[10]
под ред. А. П. Юшкевича, «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия» в 3 томах, т.1. – М.:Наука, 1970.
/*Учебник по истории математики. В нем про есть про все подряд, но и про Древний Египет и Междуречье тоже.*/
Лекция 3.
Древняя Греция
Глава, в которой математика, наконец, появляется.
Рисунок 3.1: Фреска "Афинская Школа" Рафаэля Санти. Ватикан.
От математиков Египта и Междуречья до нас дошли только примеры решенных задач. В Древней Греции, наконец, мы видим появление математической науки. В чем разница? В математике появляются доказательства. Пока в математике нет доказательств, наукой она не считалась. Ремеслом, занятием, вспомогательным инструментом – да, может быть, но не наукой. Этот важнейший перелом, скачок на новый уровень, когда количество накопленных математических знаний (зачастую противоречивых) переходит в качество, случился приблизительно на рубеже VI и V веков до нашей эры.
3.1
Фалес. Начало.
Рисунок 3.2: Фалес. 624–546 гг. до н.э.
Кроме того, надо обязательно отметить и такой факт. В Египте и Месопотамии математика развивалась крайне медленно. Годами, да что там годами, столетиями, в математике ничего не происходило.
Чтобы изобрести цифру 0 (даже еще не число, а только лишь цифру обозначающую пропущенный разряд) у древних вавилонян ушло более тысячи лет! Свитки переписывались без изменений. А ведь это были учебники. И новые писцы учились по учебникам 1000-летней давности.