Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
Шрифт:
Рисунок 4.3: Питер Пауль Рубенс. Пифагор проповедует вегетарианство.
Таким образом, Пифагор в первую очередь не ученый, нет, он пророк. Цель его жизни не в том, чтобы познать математику. Цель его жизни в том, чтобы научить людей быть счастливыми (правда, посредством математики).
К сожалению, нам совсем ничего не известно о том, что доказал сам Пифагор. Самое известное математическое открытие, связанное с его именем, теорема Пифагора, скорее всего, была ему известна с доказательством только в случае равнобедренного треугольника. (Хотя формулировка точно была известна в общем). Сама теорема Пифагора была известна в Древнем Китае и Древней Индии намного раньше, чем жил Пифагор. Но от них Пифагор узнать эту теорему не мог (с ними научного общения в те времена не было ни в каком виде). С другой стороны, все ученики школы Пифагора считали своим долгом все свои математические
Однако, в пифагорейской школе действительно много математических открытий и математических знаний. Например, пифагорейцы умели считать сумму начала натурального ряда и сумму первых нечетных чисел . Знали формулы сокращенного умножения. Что характерно, все арифметические формулы они снабжали геометрическим доказательством.
Число, являющееся суммой всех своих делителей (кроме него самого, конечно), пифагорейцы называли совершенными. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. В «Началах» Евклида утверждается, что еще пифагорейцы доказали, что если 1+2+4+…+2n = p, где p – простое число, то 2np – совершенное число. (И только в 18 веке Эйлер доказал, что других совершенных чисел не бывает! То есть, пифагорейцы уже знали (описали) все совершенные числа).
Похоже, что именно в школе Пифагора совершили открытие иррациональных чисел (а именно, доказали, что число иррациональное).
Активно пифагорейцы изучали и музыку. Например, если уменьшить длину струны или флейты вдвое, то тон ее повысится на одну октаву. Если уменьшить в и в раза, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта. Вообще, пифагорейцы полагали, что музыку можно просчитать. Что при таких-то параметрах будет звучать благозвучно, а при других нет.
Короче говоря, хотя совершенно неизвестно, что же сделал в математике Пифагор, главное – он сделал математику мейнстримом, хайпом, даже религией. Благодаря Пифагору, все образованные греки мечтали заниматься математикой, а все состоятельные греки мечтали, чтобы хотя бы их дети познали эту прекрасную науку.
После разгрома Школы, Пифагор скрылся. Опять же, достоверно ничего не известно, некоторые утверждают, что он сгорел в пожаре вместе со школой. Другие – что удалился на покой и счастливо прожил еще лет 10-15 в кругу семьи. Но пифагорейцы после разгрома точно расселились по всему греческому миру. И стали нести учение Пифагора и веру в математику повсюду.
Лекция 5.
Платон
Вообще говоря, Платон-то математиком не был. Любой экскурс в историю математики мог бы прекрасно обойтись без Платона. Почему же в этой книжке, такой короткой, без Платона-таки не обошлось?
Платон – в философском плане последователь Пифагора с одной стороны. А с другой стороны, он идеи Пифагора во многом завершил, оформил, и именно четкий след Платона прослеживается позже в том, что говорили Декарт, Спиноза и многие другие философы; да и вообще во всей истории объективного идеализма Платон нехило так наследил, раскидав то тут, то там отсылки в математику.
/*Когда я училась в универе, наш препод философии рассказывал нам, что в зависимости от ответа на главный вопрос философии (что первично, материя или идея?) все мыслители всех времен всегда делились на две большие категории. Материалисты и идеалисты (а идеалисты в свою очередь на объективных и субъективных). Дальше он нам доказывал, и очень убедительно (с его точки зрения, разумеется, мы же математики, для нас слова "убедительно" и "философ" не могут стоять в одном утвердительном предложении), что материализм – это правильно и нормально; а идеалисты, которые субъективные – они просто сумасшедшие, а те, которые объективные – религиозные фанатики (читай: тоже не очень-то здоровы психически), потому что объективный идеализм ни что иное как религия. Ну, так вот. Математика (с некоторой точки зрения) – это типичный пример объективного идеализма. (И это очень хорошо показано в философии Платона). В математике идея всегда идет вперед ее материального воплощения. Поэтому с философской точки зрения иначе как религией математику назвать вообще никак нельзя.
Ну, а мы, математики, все сплошь как один получаемся религиозные фанатики. */
Рисунок 5.1: Платон. примерно 428 – примерно 348 гг. до н.э.
Но основа моего рассказа – не история математики, как таковая, а скорее попытка проследить, повлияла ли математика на общечеловеческую культуру и историю. И с точки зрения того, как же математика повлияла на общечеловеческую (хотя бы общеевропейскую) культуру в целом, на философию, на человеческое мышление, разговор никак не может обойти стороной такую глыбу мысли, как Платон. На фреске Рафаэля "Философия" (см. рисунок 3.1 на стр.33) Платон – центральная фигура (что-то объясняющий своему спутнику человек в красном балахоне в самом центре).
Платон родился примерно 70 лет спустя после смерти Пифагора. Пифагор еще не был нереальной легендой, а был довольно близкой историей (как для моих студентов, например, Фихтенгольц, а для меня – ну, предположим, Марков, который изобрел "цепи Маркова" – главный принцип, на котором сейчас работают нейросети и искусственные интеллекты). Пифагорейцы были очень активны и рассеяны по всей Греции. Уезжать в путешествия для получения образования Платон вовсе не хотел, он хотел получить образование в колыбели культуры – в Афинах, в школе Сократа. Но увы и ах, школу Сократа тоже закрыли, Сократ умер, и Платон, чтобы продолжить свое образование, вынужден был путешествовать. Ездил он и в Египет по следам Пифагора, и в Кротон (где была пифагорейская школа), и в африканскую часть Древней Греции, в Сиракузы (где позже появится Архимед). Именно в этом путешествии Платон и научился математике. Однако же, кроме математики, узнал много чего еще. В конце-концов, вернулся в Афины, где основал первое в истории высшее заведение – Академию Платона. Которая просуществовала в итоге больше 900 лет! (закрыта лишь в 529 году нашей эры).
Над входом в Академию Платона висел слоган «Не знающий геометрию – не войдет!» Более того, во все времена существования Академии, этого слогана, безусловно придерживались. /*Ах, как было бы хорошо, если бы подобный слоган был руководством к действию в современных вузах. Ну, или хотя бы на математических факультетах!*/
Когда мы говорили о Пифагоре, мы обсудили, что математика родилась в учении Пифагора из философии и религии. Теперь, при Платоне, 100 лет спустя, работает много профессиональных математиков (людей, у которых основное занятие в жизни – доказывание теорем). Многие из них – вовсе не пифагорейцы, просто им нравится математика. И вот теперь, когда математика уже хорошо развита, математика начинает влиять на философию, на мировоззрение.
Для лучшего понимания философских идей Платона, никак невозможно обойтись без его учения о идеях. Лучше всего, конечно же, читать "Миф о Пещере" в Диалогах Платона [19], но я кратенько перескажу.
Представим себе людей, которые прикованы в темной пещере, и смотрят на освещенную стену. Они не могут шевелиться и видят только стену. За их спиной проносят реальные предметы, которые отбрасывают
Ну, так вот. Платон считал, что мы все, подобно тем узникам в пещере. А настоящий, большой мир – это мир идей. Идея предмета – реальная, настоящая, первичная. Есть много животных, которых мы можем назвать Кошка. Но это ненастоящие кошки, это лишь тени одной, настоящей идеальной кошки (кошки-идеи) из мира идей. (Так на примере котиков объясняет Бертран Рассел философию Платона).
Это очень математичная идея. Мы можем соорудить в жизни куб? Можем, конечно. Но углы у него будут не четко