Великая Теорема Ферма
Шрифт:
Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.
Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.
Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную 2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.
К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.
Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны
Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.
Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число 1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. –1?» [6] Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.
6
Вспомнилась тут фраза Титчмарша: «Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из неё».:) — E.G.A.
Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i, определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».
Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i, так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i/2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.
Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости
Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить 3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.
Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.